مسألة جميلة جدا

[أبو اسراء 333]

أوجد ناتج هذه المتتابعة :


(7+77+777+000000000000+الحد ال(20 ) )

[شحات جامع]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

المجموع المطلوب=7(1+11+111+.......................الى 20حدا)
وبملاحظة ان 1 سيتكرر 20مرة فى خانة الاحاد و19مرة فى العشرات،.. وبالتالى يكون المجموع

=7(1*20+10*19+100*18+..........................+10 ^19) وبفرض 10=س

=7(20+19س+18س^2+.............+2س^18 +س^19) ------->(1)

ولكن (س-1)(20+19س+18س^2+.....+2س^18+س^19)

=س+س^2+س^3+........+س^20 -20 وما فوق الخط مجموع متتابعة هندسية

=(س^21 -س)/(س-1) -20

اذن 20+19س+18س^2+......+س^19=(س^21 -21س+20)/(س-1)^2
يالتعويض فى1 والتعويض عن س=10

المجموع المطلوب=7* (10^21 -210+20)/81 =7(10^21 -190)/81

[احمد عبدالعال محمد]

نهاية أسس6.png

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة أبو اسراء 333

أوجد ناتج هذه المتتابعة :


(7+77+777+000000000000+الحد ال(20 ) )

بعد إذن الأستاذ النابه أستاذ / شحات جامع ــ وأنا واحد من معجبيه ــ أضع حله للمسألة بتنسيق قد يساعد على إيصال ما أراد إيصاله .
وإن كنت أتمنى عليه أن يعرض حلوله الرائعة من خلال الرسام مثلا !
أحمد عبد العال

[شحات جامع]

اشكرك استاذى الكبير انا تلميذك استاذى واتعلم منك

[احمد عبدالعال محمد]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة شحات جامع

اشكرك استاذى الكبير انا تلميذك استاذى واتعلم منك

أخى الأستاذ / شحات ... صدقنى أنا أعنى كل كلمة ــ وأنت تستحق ــ ولازلت أناشدك محاولة عرض حلولك ــ المبدعة ــ كملفات صور لعموم الفائدة لنا ولتلاميذك .
وهنيئا لقنا بمثلك وليس فقط البراهمة !
أحمد عبد العال

[msh835]

اشكرك استاذى الكبير

[احمد عبدالعال محمد]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة msh835

اشكرك استاذى الكبير

لكم كل الشكر ، على علو أخلاقكم وجميل مشاركتكم ، سواء كنت أنا المقصود أو بالنيابة عن أخى الأستاذ / شحات إن كان هو !
اخوكم احمد عبد العال

[Ahmed_121186]

بسم الله الرحمن الرحيم
من الممكن حلها هكذا
نفرض ان مجموع العشرين حد من 7+77+777+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=7(1+11+111+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘ )=7س حيث س =1+11+111+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘
بما ان 2+22+222+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=2(1+11+111+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘ )=2س
7+77+777+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=7س
2+22+222+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=2س بالجمع
9+99+999+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=9س نريد مجموع 20 حد نضيف 20 للطرفين
10+100+1000+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=9س+20
مجموع 20 حد من المتتابعه الهندسيه 10،100،100,‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=111111111111111111110
111111111111111111110 =9س+20
9س=111111111111111111110-20
س=12345679012345679010
المطلوب مجموع(7+77+777+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘) =7 س=86419753086419753070
نسألكم الدعاء

[احمد عبدالعال محمد]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ahmed_121186

بسم الله الرحمن الرحيم
من الممكن حلها هكذا
نفرض ان مجموع العشرين حد من 7+77+777+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=7(1+11+111+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘ )=7س حيث س =1+11+111+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘
بما ان 2+22+222+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=2(1+11+111+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘ )=2س
7+77+777+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=7س
2+22+222+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=2س بالجمع
9+99+999+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=9س نريد مجموع 20 حد نضيف 20 للطرفين
10+100+1000+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=9س+20
مجموع 20 حد من المتتابعه الهندسيه 10،100،100,‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=111111111111111111110
111111111111111111110 =9س+20
9س=111111111111111111110-20
س=12345679012345679010
المطلوب مجموع(7+77+777+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘) =7 س=86419753086419753070
نسألكم الدعاء

ما شاء الله يا أستاذ / احمد .. حل جميل ، ومن وحى حلكم أقترح الآتى :

نفرض ان مجموع العشرين حد من 7+77+777+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘=7(1+11+111+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘ )=7س
حيث س =1+11+111+‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘
إذن 9س=9+99+999+... إلى 20 حدا ، بإضافة 1 إلى كل حد نحصل على :
9س+20 = 10+100+1000+... إلى 20 حدا
مجموع 20 حد من المتتابعه الهندسيه 1000،100،10،
، ونكمل حلكم الجميل
احمد عبد العال

[mamhay]

طريقة بسيطة لحل هذا النوع من المسائل مثل
2+22+222+2222 لأي عدد من الحدود أو 3+33+333+3333 لاي عدد من الحدود و هكذا
و تعتمد على القيمة 9+99+999
كما يلى حيث أن 9+99+999 إ‘لى عشرين حدا مثلا هي
(10 - 1)+100 -1) + ( 1000 -1) و هكذا و هذا يساوي
10 +100 +1000إلى عشرين حدا + - 20 حيث يوجد عشرون واحد و من الواضح ان الجزء الأول هو مجموع متتابعة حسابية حدها الأول 10 و أساسها 10 فيكون لمجموع هو( 10( 10 ^20 -1) / 10-1 ) - 20
= 10 /9 (10^20 -1)
و الآن سنستخدم ذلك في حل اي شكل مثل 7 + 77 +777 إلى عشرين حدا مثلا
7(1 + 11 + 111 + إلى عشرين حد)
بالضرب 9 / 9
7 /9 ( 9 + 99 +999 + إلى عشرين حد ) = 7 /9( (10 ^20 -1 /9) - 20)
و يمكن بنفس الطريقة حل المسألة مثل
3 + 33+ 333 إلى مائة حد مثلا فتصبح على الشكل
3/9 (9 + 99 +999 + إلى مائة حد) و اكمل الحل كما سبق