رياضه المرحله الثانيه منقول

[مصراوى22]

2) متتابعة حسابية مجموع حدودها بداية من حدها الثاني = - 36 ، مجموع حدودها ماعدا حدها الأخير = صفرا والفرق بين حدها العاشر
وحدها السادس = -16 أوجد المتتابعة .



نفرض عدد حدود المتتابعه = ن+ 1

مجموعها ابتداء من ح2 = - 36

عدد الحدود = ن

جـ ن = ن / 2 [ 2 ( أ + د ) + ( ن - 1 ) د ] = - 36 .............. ( 1 )

مجموع حدودها ما عدا الاخير = 0

عدد الحدود ايضا = ن

جـ ن = ن / 2 [ 2 أ + ( ن - 1 ) د ] = 0 ...............................( 2 )

بالتعويض من ( 2 ) فى ( 1 )

صفـــــــر + ن / 2 [ 2 د ] = - 36

ن د = - 36 .......................................... ( 3 )

ح 10 - ح6 = -16

أ + 9 د - أ - 5 د = - 16

د = - 4 بالتعويض فى ( 3 )

ن = 9

عدد الحدود المتتابعه = 9 + 1 = 10

جـ ن ما عدا الاخير = 0

ن / 2 [ 2 أ + ( ن - 1 ) د ] = 0

9 / 2 [ 2 أ + 8 × - 4 ] = 0

أ = 16

المتتابعه هى ( 16 ، 12، 8 ، .............. ، -20 )

[مصراوى22]

) متتابعة حسابية عدد حدودها ن ، حدها الأول = س ، حدها الأخير = ص ومجموع حدودها = ( س + ص )^2 أوجد المتتابعة .
.



الحل

حـ ن = ن ( أ + ل ) / 2
(س + ص ) ^ 2 = ن ( س + ص ) / 2 بالقسمه على ( س + ص )

ن = 2 (س + ص )
عدد الحدود

باستخدام الحد الاخير

ل = أ + (ن ـ 1 ) د
ص = س + [ 2 (س + ص ) ــ 1] د
منها

د = (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ]

المتتابعه
الان حدها الاول س
واساسها (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ]
وعدد حدودها ن = 2 (س + ص )

[مصراوى22]

3) متتابعة حسابية عدد حدودها ن ، حدها الأول = س ، حدها الأخير = ص ومجموع حدودها = ( س + ص )^2 أوجد المتتابعة .
.



الحل

حـ ن = ن ( أ + ل ) / 2
(س + ص ) ^ 2 = ن ( س + ص ) / 2 بالقسمه على ( س + ص )

ن = 2 (س + ص )
عدد الحدود

باستخدام الحد الاخير

ل = أ + (ن ـ 1 ) د
ص = س + [ 2 (س + ص ) ــ 1] د
منها

د = (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ]

المتتابعه
الان حدها الاول س
واساسها (ص ــ س ) / [ 2 ( س+ ص ) ــ 1 ]
وعدد حدودها ن = 2 (س + ص )

[مصراوى22]

النسبة بين مجموعي حدود عددها ن من متتابعتين حسابيتين مختلفتين ابتداء من الحد الأول كنسبة 3 ن : ( ن + 2 ) فبرهن أن الحد الثالث من الأولي يساوي الحد السابع من الثانية ، النسبة بين الحد الخامس في الأولي الي الحد العاشر من الثانية كنسبة 9 : 7 .


الحل:
من المعلوم ان جـ(ن) للمتتابعه الحسابيه = مقدار من الدرجه الثانيه فى ن
وبما ان جـ (ن) / جـّ(ن) = 3ن / (ن+2) بالضرب × ن
جـ (ن)/ جّ (ن) = 3ن^2 / (ن^2 +2 ن)
اذا جـ (ن) = 3ن^2 م
جـّ (ن) = (ن^2+2ن) م [ حيث م ثابت التناسب]
ح1 = جـ1 = 3م
حّ 1 = جـّ1 = 3م
ح2 = جـ2-جـ1= 12م-3م= 9م
حّ2 =جـّ2-جـّ1 = 8م-3م=5م
ح3 =جـ3 -جـ2 = 27م-12م=15م
حّ3 =جـّ3-جـّ2 = 15م-8م=7م
اذا المتتابعه ( 3م، 9م، 15م،.................)
اذا المتتابعه =( 3م ، 5م، 7م،...............)
ح3= 15 م
ح7ّ = 3م+ 6 ×2م = 15 م
اذا ح3 = حّ 7 المطلوب الاول
ح5 / حّ10 = ( 3م+4× 6م) /( 3م+9×2م)
= 27م/ 21م = 9 / 7 وهوالمطلوب الثانى

[مصراوى22]

المتتابعة الحسابية

* هى متتابعة فيها ح ن+1 – ح ن = مقدار ثابت
* يسمى المقدار الثابت أساس المتتابعة الحسابية
* نرمز له بالرمز ء
مثال (1)
بين أى من المتتابعات الآتية حسابيه
1) ح ن = 3ن + 5 2) ح ن = 11 – 2ن
3) ح ن = ن2 + 3 4) ح ن = لو ص ن + 1
الحل
1) ح ن = 3ن + 5
ح ن+1 = 3( ن + 1) + 5 = 3 ن + 3 + 5 = 3ن + 8
ح ن+1 –ح ن = 3 ن + 8 – ( 3ن + 5 ) = 3 ن + 8 – 3ن – 5 = 3
ح ن+1 –ح ن = 3 مقدار ثابت (متتابعة حسابية )
(2) ح ن = 11 – 2ن
ح ن+1 = 11 – 2 ( ن + 1 ) = 11 – 2ن – 2 = 9 – 2 ن
ح ن+1 – حن = 9 – 2 ن – ( 11 – 2 ن ) = 9 – 2ن – 11 + 2 ن = – 2
ح ن+1 – ح ن = – 2 مقدار ثابت حن متتابعة حسابية
(3) ح ن = ن2 + 3
ح ن+1 = ( ن + 1)2 + 3= ن2 + 2ن + 1 + 3 = ن2 + 2ن + 4
ح ن+1 –حن = ن2 + 2ن + 4 – ( ن2 + 3)
ح ن+1 –ح ن = ن2 + 2ن + 4 – ن2 – 3
ح ن+1 –ح ن = 2 ن + 1 ( مقدار غير ثابت ) حن ليست متتابعة حسابية
ح ن = لـــــــو ص ن + 1
ح ن+1 = لـــــو ص ن + 1 + 1 = لـــــو ص ن + 2
ح ن+1 –ح ن = لـــــو ص ن + 2 ÷ لـــــو ص ن + 1

[مصراوى22]

نظرية
إذا كانت ح ن دالة من الدرجة الأولى فى ن فإنها تكون متتابعة حسابية


مثال (2)
بين أى من المتتابعات الآتية حسابيه
(1) ح ن = 3ن + 5 ( 2) ح ن = 11 – 2ن
(3) ح ن = ن2 + 3 (4) ح ن = لو ص ن + 1
الحل
(1) ح ن = 3ن + 5 دالة من الدرجة الأولى فهى متتابعة حسابية
(2) ح ن = 11 – 2ن دالة من الدرجة الأولى فهى متتابعة حسابية
(3) ح ن = ن2 + 3 دالة من الدرجة الثانية لبست متتابعة حسابية
(4) ح ن = لــــــو ص ن + 1 = (ن + 1) لــــــــو ص
ح ن = ن لو ص + لــو ص دالة من الدرجة الأولى فى ن
فهى متتابعة حسابية

[مصراوى22]

لحد العام للمتتابعة الحسابية

ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
* أ هو أول حد نبداء به المتتابعة (إذا لم يشترط بداية أحرى )
* ء هو أساس المتتابعة
* ن هى رتبة الحد
* ح ن قيمة الحد
مثال (3)
فى المتتابعة ( 3 ، 7 ، 11 ، 000000 ، 487 )
• أوجد الحد السابع ؟
• أوجد رتبة الحد الذى قيمته 67 ؟
• أوجد عدد حدود المتتابعة ؟
الحل
* ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
ح7 =3 + ( 7 – 1 ) × 4= 27
++++++++++++*
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
67= 3 + ( ن – 1 ) × 4
67 = 3 + 4ن – 4
67 = 4ن – 1
68 = 4ن ن = 17 #
++++++++++++*
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
487= 3 + ( ن – 1 ) × 4
487 = 3 + 4ن – 4
487 = 4ن – 1
487 = 4ن ن = 122 #
ملاحظة : -
• عدد حدود المتتابعة يساوى رتبة الحد الأخير
• ن Э ص+ دائما ً
• الأساس من النهاية هو المعكوس الجمعى للأساس من البداية
• أخر حد من البداية هو أول حد من النهاية
مثال ( 4)
اوجد الحد السابع من النهاية فى المتتابعة ( 3 ، 7 ، 11 ، 0000000 ، 487 )
الحل
• الأساس من النهاية هو المعكوس الجمعى للأساس من البداية
• أخر حد من البداية هو أول حد من النهاية
* ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
ح7 =487 + ( 7 – 1)× -4 = 511
الحد السابع من النهاية = 511
مثال (5)
أي من القيمتين 151 أ، 173 ينتمى للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 )
الحل
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
151 = 13 + ( ن – 1 ) × 4
151 = 13 + 4 ن – 4
151 = 4ن + 9
4ن = 151 – 9 = 142
4 ن = 142
ن = 35.5 Э ص +
151 Э للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
173 = 13 + ( ن – 1 ) × 4
173 = 13 + 4 ن – 4
173 = 4ن + 9
4ن = 173 – 9 = 164
4ن = 164
ن = 41 Э ص +
173 Э للمتتابعة الحسابية ( 13 ، 17 ، 21 ، 0000 )

[مصراوى22]

* للحصول على رتبة أول حد سالب نضع حن < صفر
* للحصول على رتبة أول حد موجب نضع حن > صفر
مثال (6)
اوجد رتبة أول حد سالب فى المتتابعة الحسابية ( 95 ، 92 ، 89 ، 0000000 )
الحل
نضع حن < صفر
أ + ( ن – 1 ) × ء < صفر
95 + ( ن – 1 ) × - 3 < صفر
95 – 3ن + 3< 0
98< 3ن ( ÷ 3)
32.6666 < ن
ن = 33
رتبة أول حد سالب هو 33
مثال (7)
اوجد رتبة أول حد موجب فى المتتابعة الحسابية (- 135 ، - 133 ، - 131 ، 000 )
الحل
نضع ح ن > صفر
أ + ( ن – 1 ) × ء > صفر
ــ 135 + ( ن – 1 ) × 2 > 0
ــ 135 + 2ن – 2 > 0
ــ 137 + 2ن > 0
2ن > 137 ( ÷2)
ن > 68.5
ن = 69
مثال (
اوجد رتبة أول حد أكبر من 200 فى المتتابعة الحسابية ( 10 ، 21 ، 32 ، 000 )
الحل
نضع ح ن > 200
أ + ( ن – 1 ) × ء > 200
10 + ( ن – 1 ) × 11 > 200
10 + 11ن – 11 > 200
ــ 1 + 11ن > 200
11ن > 201 ( ÷11)
ن > 18.272727
ن = 19
مثال (9)
إذا كانت ( 75 ، 3 س ، 00000 ، 2س ، 45 ) متتابعة حسابية اوجد قيمة س
اوجد عدد حدود المتتابعة ؟
الحل
3س – 75 = 45 – س
3س + 2س = 45 + 75
5س = 120 ( ÷5)
س = 24
( 75 ، 72 ، 00000، 48 ، 45 )
ح ن = 2 أ + ( ن – 1 ) ء
45 = 2 × 75 + ( ن – 1 ) × ( ــ 3)
45 = 150 – 3 ن + 3
45 = 153 – 3ن
3ن = 153 – 45 = 108
ن = 36

[مصراوى22]

تعين المتتابعة

معناه إيجاد قيمة كل من أ ، ء
( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3 ء ، 0000000 )
* ح1 = أ * ح2 = أ + ء
* ح3 = أ + 2ء * ح4 = أ + 3ء
* ح23 = أ + 22 ء * ح45 = أ + 44 ء
* ح96 = أ + 95 ء * ح96 = أ + 95 ء
مثال (1)
اوجد متتابعة حسابية مجموع حديها الثانى والثالث 12 ومجموع حدودها الثالث الخامس و السادس يساوى 31 ؟
الحل
ح2 + ح3 = 12
أ + ء + أ + 2ء = 12
2 أ + 3ء = 12 (1) × 3
ح3 + ح5 +ح6 = 31
أ + 2ء + أ + 4ء + أ + 5ء = 31
3 أ + 11ء = 31 (2) × ــ 2
6 أ + 9ء = 36
ــ 6 أ ــ 22ء = ــ 62
ــ 13 ء = ــ 26 ء = 2
أ = 3 المتتابعة هى ( 3 ، 5 ، 7 ، 0000000000 )
مثال (2)
متتابعة حسابية حدها السابع يزيد عن مجموع حديها الثالث والرابع بمقدار الوحدة ، حدها الثانى ينقص عن حدها الخامس بمقدار 12 أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح7 – ( ح3 + ح4 ) = 1
أ + 6 ء – ( أ + 2ء + أ + 3 ء ) = 1
أ + 6 ء – 2أ – 5 ء = 1
ء – أ = 1 (1)
ح5 – ح2 = 12
أ + 4 ء – ( أ + ء ) = 12
أ + 4 ء – أ – ء = 12
3 ء = 12 ( ÷ 3)
ء = 4
بالتعويض في (1) نجد أن
4 – أ = 1
أ = 3
المتتابعة هى ( 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، 0000 )
مثال (3)
متتابعة حسابية مجموع حديها الثانى والثالث – 7 ومجموع مربعيهما 29 أوجد المتتابعة
الحل
ح2 + ح3 = – 7
أ + ء + أ + 2ء = – 7
2 أ + 3ء = – 7
2 أ = – 7 – 3ء
أ = ( - 7 - 3 د ) / 2 00000000 (1)

( ح2 )2+( ح3 )2= 29
( أ + ء )2+( أ + 2ء )2 = 29 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن
[ (( - 7 - 3 د ) / 2) + ء ]^2 + [( ( - 7 - 3 د ) / 2)+ 2ء ]^2= 29

( – 7 – 3ء + 2ء / 2 )^2 + ( – 7 – 3ء + 4ء / 2 )^2 = 29

( - 7 - د / 2)2 + (- 7 + د / 2 )2 = 29

49 + 14 ء + ء2 / 4 +49 – 14 ء + ء2 / 4 = 29

98 + 2ء2 / 4 = 29

98 + 2ء2 = 116
2ء2 = 18
ء2 = 9
ء = 3 بالتعويض في (1)
أ = ــ 8
المتابعة هي ( ــ 8 ، ــ 5 ، ــ 2 ، 000 )
ء = ــ 3 بالتعويض في (1)
أ = 1
المتتابعة هي ( 1 ، ــ 2 ، ــ 5 ، 0000 )
مثال (4)
متتابعة حسابية تناقصية النسبة بين حديها الثالث والثامن هى 2 : 5 ، حدها الخامس يساوى مكعب حدها الأول أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح3 : ح8 = 2 : 5
أ + 2ء : أ + 7 ء = 2 : 5
أ + 2 ء / أ + 7ء = 2/5

5 أ + 10 ء = 2أ + 14 ء
5 أ – 2أ = 14ء – 10 ء
3 أ = 4 ء (1)
ح5 = ح1 3
أ + 4 ء = أ3 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن :
أ + 3أ = أ3
أ3 – 4 أ = 0
أ ( أ2 – 4 ) = 0
أ ( أ – 2 ) ( أ +2) = 0
أ = 0 مرفوض أ = 2مرفوض أ = ــ 2
بالتعويض فى (1) نجد أن
3 × ــ 2 = 4 ء
ء = - 3 / 2
المتتابعة هى : ( ــ 2 ، - 7 / 2، ــ 5 ، 00000 )

[مصراوى22]

•ملحوظة : إذا كان عدد حدود المتتابعة فردى وأقل من عشرة بشرط أن يكون مجموعهم معلوم نفرض المتتابعة على الصورة :
• 000 ، أ – ء ، أ ، أ + ء ، 0000
مثال (5)
أوجد ثلاثة أعداد فى تتابع حسابى مجموعهم 15 ومجموع مربعتها 83 ؟
الحل
الأعداد هى : أ – ء ، أ ، أ + ء
أ – ء + أ + أ + ء = 15
3أ = 15
أ = 5
( أ – ء )2+ أ2 +( أ + ء )2 = 83
( 5 – ء )2+ 5 2 + ( 5 + ء )2 = 83
25– 10ء + ء2+ 25 + 25 + 10 ء + ء2 = 83
75 + 2ء2 = 83
2ء2 = 83 – 75 = 8
2ء2 = 8 (÷2)
ء2 = 4
ء = 2 ، ء = -2
الأعداد هى : الأعداد هى :
( 3 ، 5 ، 7 ) ، ( 7 ، 5 ، 3 )
مثال (6)
مثلث قياسات زواياه الثلاث فى تتابع حسابى ، الفرق بين قياسى الزاويتين الكبرى والصغرى يساوى 80 ْ أوجد قياس كل زاوية من زوايا المثلث ؟
الحل
قياسات الزوايا هى : أ – ء ، أ ، أ + ء
أ – ء + أ + أ + ء = 180
3أ = 180 (÷3)
أ =60
أ + ء – ( أ – ء ) = 80 ْ
أ + ء – أ + ء = 80
2 ء = 80 (÷2)
ء = 40
قياسات الزوايا هى 20 ، 60 ، 100

•ملحوظة إذا كان عدد حدود المتتابعة زوجى و أقل من عشرة بشرط أن يكون مجموعهم معلوم نفرض المتتابعة على الصورة :
• 000، أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء ، 000
مثال (7) أوجد أربعة أعداد فى تتابع حسابى مجموعهم 32 وحاصل ضرب حديها الثانى و الثالث يساوى 60 ؟
الحل
نفرض أن الأعداد هى :
أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء
أ – 3ء + أ – ء + أ+ ء + أ+ 3ء =32
4 أ = 32
أ = 8
( أ – ء ) ( أ + ء ) = 60
( 8 – ء ) ( 8 + ء ) = 60
64 – ء2 = 60
ء2 = 4
ء = 2 ء = - 2 (مرفوض)
الأعداد هى : 00000000000000000000000الأعداد هى :
( 2 ، 6 ، 10 ، 14 ) 0000000000000000000000( 14 ، 10 ، 6 ، 2 )
مثال (
س ص ع ل شكل رباعى زواياه فى تتابع حسابي فإذا كان س أصغر الزوايا ، ل أكبر الزوايا وكان جـــــا س + جــــا ل = ظـــــا 60 أوجد قياسات زوايا الشكل الرباعى ؟
الحل
نفرض أن الزوايا هى : أ – 3ء ، أ – ء ، أ + ء ، أ + 3ء
أ – 3ء + أ – ء + أ+ ء + أ+ 3ء =360
4 أ = 360
أ =90
جـــــا س + جــــا ل = ظـــــا 60
جـــــا ( أ – 3ء ) + جــــا ( أ + 3 ء ) = ظـــــا 60
جـــــا (90 – 3ء ) + جــــا ( 90 + 3 ء ) = ظـــــا 60
جـــتــا ( 3ء ) + جــتــا ( 3 ء ) = جذر 3
2جــتــا ( 3 ء ) = جذر 3
جــــتــــا 3ء = جذر 3 / 2
3 ء = 30
ء = 10
س = 90 – 3 × 10 = 60
ص = 90 – 10 = 80
ع = 90 + 10 = 100
ل = 90 + 3× 10 = 120

[مصراوى22]

الوسط الحسابى

إذا كان أ ، ب ، ﺟ فى تتابع حسابي فإن ب تسمى وسط حسابى بين أ ، ﺟ
2 ب = أ + ﺟ
مثال (1)
إذا كان ( 3س – 11 ، 4س + 9 ، 2س + 5 ) فى تتابع حسابي فاوجد قيمة س ؟
الحل
2 ب = أ + ﺟ
2( 4س + 9) = 3س – 11 + 2س+ 5
8س + 18 = 5س – 6
8س – 5س = – 6 – 18
3س = – 24
س = – 8
مثال (2)
إذا كان (س ، 24 ، ص ، 32 ، ع ) فى تتابع حسابي فاوجد قيمة س ، ص ، ع ؟
الحل
ص وسط حسابي بين 24 ، 32
2 ص = 24 + 32
2ص = 56 ( ÷2 )
ص = 28
2 × 24 = س + ص س + 28 = 48
س = 48 – 28 = 20
ع + ص = 2 × 32 ع + 28 = 64
ع = 36
ملحوظة :
* عدد الحدود = عدد الأوساط + 2
مثال (3)
أدخل 15 وسطا ً حسابيا ً بين 45 ، - 19
الحل
45 ، * ، * ، * ، 00000 ، * ، * ،* ، - 19
* عدد الحدود = عدد الأوساط + 2
* عدد الحدود = 15 + 2 = 17
* ح17 = - 19 * أ = 45
* ء = ؟؟
ح17 = أ + 16ء = - 19
45 + 16ء = - 19
16 ء = - 19 – 45
16 ء = - 64 ( ÷ 16 )
ء = - 4
الأوساط هى : ( 41،37،33 ، 000، - 15 )
ملحوظة : -
• رتبة الحد = رتبة الوسط + 1
• ح5 = و4
• ح81 = و80
مثال (4)
أوجد متتابعة حسابية مجموع الحد الخامس ووسطها الحادى عشر – 40 ، ضعف وسطها الرابع عشر يزيد عن حدها الثالث بمقدار 54 ؟
الحل
ح5 + و11 = - 40
ح5 + ح12 = ــ 40
أ + 4ء + أ + 11ء = ــ 40
2أ + 15ء = ــ 40 (1) × ــ 1
2و14 – ح3 = 54
2ح15 – ح3 = 54
2 ( أ + 14ء ) – ( أ + 2ء ) = 54
2 أ + 28 ء – أ – 2ء = 54
أ + 26 ء = 54 (2) × 2
2أ + 52 ء = 108
ــ 2أ – 15 ء = 40
37 ء = 148 (÷ 37)
ء = 4 بالتعويض في (1) نجد أن
أ = ــ 50
المتتابعة هى ( ــ 50 ، ــ 46 ، ــ 42 ، 00000 )
مثال (5)
إذا أدخلنا عدة أوساط حسابية بين 3 ، 53 وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأولين إلى مجموع الوسطين الأخيرين هى 3 : 13 فما عدد الأوساط ؟
الحل
نفرض أن المتابعة هى :
( 3 ، 3 + ء ، 3 + 2ء ، 00000 ، 53 – 2ء ، 53 – ء ، 53 )
الوسطين الأولين الوسطين الأخيرين

( 3 + ء + 3 + 2ء) / ( 53 – 2ء + 53- د ) = 3 / 13

( 6 + 3ء ) / ( 106 – 3ء ) = 3/013
39 ء + 78 = 318 – 9 ء
39 ء + 9 ء = 318 – 78
48 ء = 240 (÷ 4
ء = 5
المتتابعة هى ( 3 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 53 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
53 = 3 + ( ن – 1 ) × 5
53 = 3 + 5 ن – 5
53 = 5 ن – 2
5ن = 53 + 2 = 55
5 ن = 55 (÷5)
ن = 11
مثال (6)
إذا كان س ، ص وسطين حسابيين بين أ ، ب أثبت أن : أ – ب = 3( س – ص )
الحل
( أ ، س ، ص ، ب ) فى تتابع حسابى
( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3ء )
ألأيمن = أ – ب
= أ – ( أ + 3ء )
= أ – أ – 3ء
= - 3ء
الأيسر = 3 (س – ص )
= 3 ( أ + ء – [ أ + 2ء ] )
= 3 ( أ + ء – أ – 2ء )
= - 3ء = الطرف الأيمن
مثال(7)
إذا كانت ب وسط حسابى بين أ ، ﺟ فاثبت أن: ﺟ ( أ + 2ب - ﺟ ) = أ( 2ب + ﺟ - أ )
الحل
ب وسط حسابى بين أ ، ﺟ
( أ ، ب ، جـ ) فى تتابع حسابي
( أ ، أ + ء ، أ + 2 ء )
ب = أ + ء
جـ = أ + 2 ء
الطرف الأيمن = ﺟ ( أ + 2ب - ﺟ )
= ( أ + 2 ء ) ( أ + 2 ( أ + ء ) – ( أ + 2 ء ) )
= ( أ + 2ء ) ( أ + 2أ + 2ء – أ – 2ء )
= ( أ + 2ء ) (2أ )
= 2أ2 + 4أء
الطرف الأيسر = أ ( 2ب + جـ ــ أ )
= أ ( 2 ( أ + ء ) + أ + 2ء – أ )
= أ ( 2أ + 2ء + أ + 2ء – أ )
= أ ( أ + 4ء )
= أ2 + 4أء = الأيمن

[مصراوى22]

جموع ن حدا ً من المتتابعة الحسابية


حـن = ( ن / 2 ) ( أ + ل )

مثال (1)
أوجد مجموع العشرين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية التى حدها الأول 60 وحدها العشرين 10 ؟
الحل
حـن = ( ن / 2 )( أ + ل ) =10( 60 + 10 ) = 700


ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]

مثال (2)
أوجد مجموع الأربعين حدا ً الأولى من المتتابعة الحسابية ( 4 ، 7 ، 10 ،............ )
الحل
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 40 / 2 ) [ 2×4 + ( 40 – 1) ×3 ]
ﺣ ن = 20[ 8 + 117 ] = 2500
مثال (3)
أوجد مجموع متتابعة حسابية مكونة من 20 حدا ً ، حدها الرابع = 11 ، حدها السابع عشر = 76 ؟
الحل
ح4 =11 أ + 3 ء = 11 (1)
ح17 =76 أ + 16 ء = 76 (2)
13 ء = 65
ء = 5 بالتعويض
أ + 3 × 5 = 11 أ = ــ 4
المتتابعة هى ( ــ 4 ، 1 ، 6 ، ................. )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 20 / 2 )[ 2× ــ4 + ( 20 – 1) ×5 ]
ﺣ ن = 10[ ــ 8 + 95 ] = 870
مثال (4)
أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 9 ، 12 ، 15 ، ............ ) ابتداء من حدها الأول ليكون المجموع 306 ؟
الحل
ﺣ ن =( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
306 = ( ن / 2 )[ 2× 9 + ( ن – 1) ×3 ]
612 = ن[18 + 3 ن – 3 ]
612 = 3 ن2 + 15 ن (÷3)
ن2 + 5 ن – 204 = 0
( ن – 12 )( ن + 17) =0
ن = 12 ن = ــ 17 مرفوض

مثال (5)
فى المتتابعة ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000000 )
• أوجد مجموع العشرة حدود الأولى
• أوجد مجموع العشرة حدود التالية
• كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء ً من الحد الأول ليكون المجموع 176 ( فسر الجواب )
الحل
المتتابعة هى ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000 )
مجموع العشرة حدود الأولى
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن =( 10 / 2 )[ 2× 36 + ( 10 – 1) ×ــ 4 ]
ﺣ ن = 5[ 72 – 36 ] = 5 × 36 = 180
ح11 = أ + 10 ء = 36 + 10 × ــ 4 = 36 – 40 = – 4
مجموع العشرة حدود التالية
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2ح11 + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 10 / 2 ) [ 2× – 4 + ( 10 – 1) × – 4]
ﺣ ن = 5[ ــ 8 – 36 ] = ــ 220
ليكون المجموع 176
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
176=( ن / 2 )[ 2× 36 + ( ن – 1) ×ــ 4 ]
352= ن[72 – 4 ن + 4 ]
352 = ــ 4 ن2 + 76 ن
4 ن2 – 76 ن + 352 = 0 (÷4)
ن2 – 19ن + 88 = 0
( ن – 8 )( ن – 11 ) = 0
ن = 8 ن = 11
التفسير هو : ح9 + ح10 + ح11 = صفر
مثال (6)
أوجد متتابعة حسابية مكونة من 21 حدا ً ، مجموع الأحد عشر حدا ًالأولى منها 91 ، مجموع الأحد عشر حدا ً الأخيرة = 385
• أوجد المتتابعة
• أوجد مجموع الثلاثة حدود الوسطى منها ؟
الحل

الأحد عشر حدا ًالأولى :
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
91=( 11 / 2 )[ 2 أ+ ( 11 – 1) ء ]
182 = 11[ 2أ +10 ء ]
91 = 11أ + 55 ء
11 أ + 55 ء = 91 (1)
الأحد عشر حدا ًالأخيرة :
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
385=( 11 / 2 ) [ 2 ح11 + ( 11 – 1) ء ]
385 = 11[ ( أ + 10 ء ) + 5 ء ]
35 = أ + 10 ء +5ء
35= أ + 15 ء (÷2)
أ + 15 ء = 35 (2)
11 أ + 55 ء = 91 (1)
14 ء = = 42 (÷ 14)
ء = 3
بالتعويض فى (1) نجد أن
أ + 3 × 3 = 13
أ + 9 = 13
أ = 4
المتتابعة هى ( 4 ، 7 ، 10 ، 00000 )

رتبة الحد الأوسط = ن + 1 / 2 = 21 + 1 / 2 = 22 / 2 = 11

الحدود الثلاث الوسطى هى ( ح 10 ، ح11 ، ح 12 )
ح 10 + ح11 + ح 12 = أ + 9 ء + أ + 10 ء + أ + 11 ء
= 3 أ + 30 ء
= 3 × 4 + 30 × 3 = 102
مثال (7)
أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 18 ، 15 ، 12 ، 0000 ) ابتداء من حدها الأول لتكون النسبة بين مجموع الثلث الأول منها : مجموع باقى الحدود كنسبة 3 : - 2
الحل
نفرض أن عدد الحدود هو 3ن
الثلث الأول
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 1=( ن / 2 ) [ 2 × 18+ ( ن – 1) × – 3]
جـ 1 =( ن / 2 )[ 36 – 3ن + 3 ]

جـ 1 = ( ن / 2 ) ( 39 – 3ن ) (1)

باقى الحدود
ﺣ 2ن = ( ن / 2 )[ 2ح ن + 1 + ( 2ن – 1) ء ]
جـ 2ن = ( ن / 2 ) [ 2 ( 18 – 3ن)+ ( 2ن – 1)× - 3]
جـ 2 = ن[ 36 – 6ن – 6ن + 3 ]
جـ 2 = ن[ 39 – 12 ن ] (2)

جـ 1 / جـ 2 = 3 / - 2

من (1) ، (2) نجد أن
جـ 1 ......( ن / 2 ) ( 39 – 3ن ) ...............3
ــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
جـ 2 ن .....[ 39 – 12 ن ] ــ 2................. 39 – 3ن 3



– 39 + 3ن = 117 – 36 ن
3 ن + 36 ن = 117 + 39
39 ن = 156 (÷ 39)
ن = 4
عدد حدود المتتابعة = 3 ن = 3 × 4 = 12

[مصراوى22]

وظة :
•لإيجاد أكبر مجموع للمتتابعة الحسابية نوجد مجموع حدودها الموجبة أى نضع ح ن > صفر
•لإيجاد أصغر مجموع للمتتابعة الحسابية نوجد مجموع حدودها السالبة أى نضع ح ن < صفر
•لإيجاد أقل عدد من الحدود يلزم أخذه من المتتابعة ليكون المجموع سالبا ً نضع ﺟ ن < صفر
•لإيجاد أقل عدد من الحدود يلزم أخذه من المتتابعة ليكون المجموع موجبا ً نضع ﺟ ن > صفر

مثال (
فى المتتابعة ( 16 ، 14 ، 12 ، 000000 )
• أوجد أكبر مجموع ممكن لها ؟
• كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع موجبا ً ؟
الحل
نضع ح ن > صفر
أ + ( ن – 1 ) × ء > صفر
16 + ( ن – 1 ) × ــ 2 > صفر
16– 2 ن + 2 > صفر
18 – 2 ن > صفر
18 > 2 ن (÷2)
9 > ن
ن = 8
ليكون المجموع موجبا ً نضع ﺟ ن > صفر
( ن / 2 ) [ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ] > صفر
2 أ + ( ن – 1 ) ء > صفر
2 × 16 + ( ن – 1 ) × ــ 2 > صفر
32 – 2ن + 2 > صفر
34 – 2ن > صفر
34 ن > 2ن (÷2)
17 > ن
ن = 16
مثال (9)
أوجد أقل عدد من حدود المتتابعة الحسابية
( 45 ، 42 ، 39 ، 0000000000 ) ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالب وأوجد هذا المجموع ؟
الحل
ﺟ ن < صفر
( ن / 2 )[ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ] < صفر
2 أ + ( ن – 1 ) ء < صفر
2 × 45 + ( ن – 1 ) × ــ 3 < صفر
90 – 3 ن + 3 < صفر
93 – 3ن < صفر
93 ن < 3 ن (÷2)
31 < ن
ن = 32
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 32= ( ن / 2 ) [ 2 × 45+ ( 32 – 1) × – 3]
جـ 32 =16 [ 90 – 31 × 3 ]
جـ 32 = 16 × [ 90 – 93 ] = 16 × – 3 = – 48

مثال (10)
أوجد مجموع 17 حدا ً الأولى من المتتابعة
3ن + 1 ، ن ≤ 4
حن = 2ن + 5 ، ن < 4
الحل
ﺟ 17 = ﺟ 4 + ﺟ 13
عند ن < 4
ح1 = 3 × 1 + 1 = 4 ح2 = 3 × 2 + 1 = 7
ح3 = 3 × 3 + 1 = 10 ح4 = 3 × 4 + 1 = 13
جـ 4 = ح1 + ح2 + ح3 + ح4 = 4 + 7 + 10 + 13 = 34
عند ن > 4
ح5 = 2 × 5 + 5 = 15 ح6 = 2× 6 + 5 = 17
ح7 = 2 × 7 + 5 = 19 ح8 = 2 × 8 + 5 = 21
( 15 ، 17 ، 19 ، 000000 )
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 13= ( 13 / 2 ) [ 2 × 15+ ( 13 – 1) × 2]
جـ 13 = ( 13 / 2 )[ 30 + 12 × 2 ]

جـ 13 = (13 / 2 )[ 30 + 24 ] = ( 13 / 2 ) × 54= 351

ﺟ 17 = ﺟ 4 + ﺟ 13
جـ 17 = 34 + 351 = 385
مثال (11)
أوجد مجموع 20 حدا ً الأولى من المتتابعة
3ن + 1 ، ن فردية
حن =
2ن + 5 ، ن زوجية
الحل
عند ن فردية
ح1 = 3 × 1 + 1 = 4 ح3 = 3 × 3 + 1 = 10
ح5 = 3 × 5 + 1 = 16 ح7 = 3 × 7 + 1 = 22
( 4 ، 10 ، 16 ، 000000 )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 1= ( 10 / 2 )[ 2 × 4+ ( 10 – 1) × 6]
جـ 1 = 5 × [ 8 + 9 × 6 ] = 310
عند ن زوجية
ح2 = 2 × 2 + 5 = 9 ح4 = 2× 4 + 5 = 13
ح6 = 2 × 6 + 5 = 17 ح8 = 2 × 8 + 5 = 21
( 9 ، 13 ، 17 ، 000000 )
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 2= (10 / 2 ) [ 2 × 9+ ( 10 – 1) × 4]
جـ 2 = 5 [ 18 + 36 ] = 270
ﺟ 20 = ﺟ 1 + ﺟ 2
جـ 17 = 310 + 270 = 580
مثال (12)
اثبت أن ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حسابية حيث س ، ص Э ح+ وإذا كانت س= 160 ,ص = 1 / 2 أوجد مجموع الحدود التسعة الأولى بدون الآلة الحاسبة ؟
الحل
ح ن = لـــو س ص ^ن + 1 = لـــــــو س + لـــــــو ص^ ن ــ 1
ح ن = لــــو س + (ن ــ 1) لـــــو ص
ح ن = لــــو س + ن لــــــو ص ــ لـــــو ص
ح ن = لــــو س ــ لـــــو ص + ن لــــــو ص دالة من الدرجة الأولى فى ن
ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حـــــســابية أساسها ء = لــــو ص (نظرية )
ح1 = لـــو 160 × ( 1 / 2)^ 1 ــ 1 = لــــــو 160 × 1 = لـــــو 160

ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 2= ( 9 / 2 )[ 2 لــــو 160+ ( 9 – 1) لــــو 1 / 2]
جـ 2 = ( 9 / 2 ) [ 2 لـــــو 160 + 8 لـــــو 1 / 2]
جـ 2 = ( 9 / 2)× 2 [ لـــــو 160 + 4 لـــــو 1 / 2]
جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 + لـــــو 1 / 16]
جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 × 1 / 16 ] = 9 × لـــــــــو 10 = 9 × 1 = 9
مثال (13)
أوجد مجموعة الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 ، 101 والتى تقبل القسمة ÷ 3 ؟
الحل
الأعداد الطبيعية التى تقبل القسمة ÷ 3 هى ( 3 ، 6 ، 9 ، 0000000000 ، 99 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
99 = 3 + ( ن – 1 ) × 3
99 = 3 + 3ن – 3
99 = 3 ن
ن = 33
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ أ + ل ] = ( 33 / 2 ) [ 3 + 99 ] = ( 33 / 2 )× 102 = 1683

مثال (14)
(ح ن) متتابعة حسابية فيها ح 4= 20
ﺤ ن الأولى........... 3ن – 1
------------------ = -----------
ﺤ 2ن الأولى........... 12ن – 2

أوجد مجموع العشرة حدود الأولى منها ؟
الحل
نضع ن = 1 فى الطرفين
ﺤ 1 الأولى.............. 3 × 1– 1 ..........2 .............1
-----------------= -------------------= -------------= ------------
ﺤ 2 × 1 الأولى......... 12 × 1 – 2......... 10 ...........5

5 جـ1 = جـ 2
5 ح1 = ح1 + ح2
5 أ = أ + أ + ء
5أ = 2أ + ء
ء = 3أ (1)
ح 4= 20
أ + 3ء = 20 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن
أ + 3 × 3أ = 20
10 أ = 20 أ = 2
ء = 3 × 2 = 6
جـ 10 = 5 ( 2 × 2 + ( 10 – 1 ) × 6 ) =290

[مصراوى22]

المتتابعه الحسابية
شرطها : - ح ن+ 1 - ح ن = مقدار ثابت ( أساس المتابعة الحسابية ) ورمزه هو ( ء )
عند ء > صفر متتابعة متزايدة
عند ء < صفر متتابعة متناقصة
حيث ح ن مقدار من الدرجة الأولى في ن
المتتابعة الحسابية = ( أ ، أ + ء ، أ + 2 ء ، ...............)
الحد العام ح ن = أ + ( ن – 1 ) ء
مجموع المتتابعة الحسابية :
جـ ن = ن 2 [ 2 أ + ( ن - ) ء ] حيث أ هو الحد إلى نبدأ منه الجمع
جـ ن = ن 2 [ أ + ل ] حيث ل هو الحد الأخير
الوسط الحسابى لعددين
اذا كان ع هو الوسط الحسابي بين العددين أ ، ب فإن
ع = أ + ب/ 2
الوسط الحسابي للعددين = مجموع العددين ÷ 2
تذكر أن
( 1 ) الحد النوني ح ن = أ + ( ن – 1 ) ء
الوسط النوني و ن = أ + ن ء
( 2 ) لايجاد
أول حد موجب ح ن > صفر
أول حد سالب ح ن < صفر
المجموع موجبا جـ ن > صفر
المجموع سالبا جـ ن < صفر
المجموع أكبر ما يمكن جـ ن = ن / 2 [ أ + ل ] حيث أ أول حد موجب ، ل آخر حد موجب
المجموع اصغر ما يمكن جـ ن = ن / 2 [ أ + ل ] حيث أ أول حد سالب ، ل آخر حد سالب

[مصراوى22]

المتتابعة الهندسية

شرطها : - ح ن + 1/ ح ن = ثابت ( ر ) حيث ر ≠ ± 1

المتتابعة الهندسية = ( أ ، أ ر ، أ ر2 ، ..........................)
الحد العام هو ح ن = أ^ رن – 1
مجموع ن حدا من حدود المتتابعة الهندسية : -
جـ ن = أ [ ر ن - 1 ] / ر - 1
جـ ن = ل ر – أ / ر - 1


مجموع عدد لانهائي من حدود المتتابعة الهندسية:-

جـ ∞ =أ / 1 - ر
حيث | ر | < 1 وهو شرط الجمع إلى مالا نهاية

الوسط الهندسي لعددين :-
إذا كان هـ وسط هندسي بين العددين س ، ص فإن هـ = ± جذر ( س × ص )
أي أن الوسط الهندسي لعددين = ± الجزر التربيعى لحاصل ضرب العددين
الوسط الهندسي النوني و ن = أ^ رن
الكسر العشري الدائري :-
أكتب العدد التالي على صورة عدد نسبى
0.3 ( دائري ) = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ............... نوجد المجموع إلى مالا نهاية
= 0.3/ 1 - 1و0 = 0.3 /0.9 = 1 /3