مرجع المتتابعات

[amhateb]

هذا الموضوع كنت قد بدأته منذ فترة وكنت أهدف لتجميع تمارين المتتابعات في موضوع واحد ذكرني به الأستاذ / محمد شبانه
اليوم أبدأ في استكمال الموضوع لعله ينفع طلابنا في هذا الوقت

س38 : من مشاركات أ / محمد الباجس
متتابعة حسابية مجموع الخمسة حدود الأولى منها = 25 و حدها الأول و الثانى و الخامس فى تتابع هندسى أوجد المتتابعة الحسابية

الحل أ / محمد شبانه

بسم الله الرحمن الرحيم

مفتاح الحل:-
1- حـــ الحسابيه =(ن/2) [2أ +(ن-1) ء]
ويكون حـ 5 =(5/ 2) (2أ + 4ء)
امل واختصر ...
5= أ + 2ء .............(1)
2- فى م.هـ يكون الاساس ر = اى حد ÷ السابق له مباشرة
ولاى 3 حدود متتاليه يكون مربع الاوسط = حاصل ضرب الطرفين
وهنا يكون (ح 2)*2 = ح 1×ح 5 (لان ح 1,ح 2, ح 5 تكون م.هـ)
اى (أ+ء)*2 = أ ×(أ+4ء)
فك واختصر ء = 2أ .................(2)
اكمل ............
............................

المتتابعه (1 , 3 , 5, ......)

ومع خالص التحيه
أ.محمد شبانه

[amhateb]

س39 : من مشاركات أ / محمد الباجس
إذا كونت أ + ب ، 5 ب – أ ، 3 أ + ب ، .................. متتابعة حسابية وكونت
أ 2 ، ب2 ، 2 ب – أ ، .................. متتابعة حسابية أيضاً فأوجد كلاً من المتتابعتين
ثم أوجد قيمة ن التى تجعل النسبة بين مجموع ن حداً من المتتابعة الأولى إلى مجموع ن حداً من الثانية كنسبة – 50 : 31

الحل أ / محمد شبانه
بسم الله الرحمن الرحيم
مفتاح الحل .. وحل بتمهل عزيزى للطالب فالمسأله دسمه
تقديم :- اذا كونت س,ص,ع م.ح فأن الاساس = الفرق بين حدين متتاليين
اى الاساس = ص- ع = ع-ص اى ان 2ص= س+ع ( ضعف الاوسط = مجموع الطرفان)

وهنا يكون 2(5ب-أ) = (أ+ب) +(3أ +ب)
بسط واكمل ......
يكون 4ب- 3أ = 0 .....................................(1)
ومن المتتابعه الثانيه 2ب*2 = (أ*2) + (2ب-أ) .........(2)
اكمل من (1) ,(2)
.......................................
.................................................
يكون أ =4 , ب =3
اكمل المتتابعتين ........
احسب حـ ن للاولى / حـ ن للثاتيه واختصر
.................................
....................................
يكون 2260 = 226 ن اى ن =10

[amhateb]

س40 : من مشاركات أ / محمد الباجس
متتابعة حسابية متزايدة مجموع الاثنى عشر حداً الأولى منها يساوى 30 ، حاصل ضرب الحدين الرابع والسادس من هذه المتتابعة يزيد عن حاصل ضرب الحدين الثانى والثامن منها بمقدار 8/9اوجد المتتابعة . ثم أوجد عدد الحدود التى يلزم أخذها من هذه المتتابعة ابتداء من حدها الأول ليكون المجموع مساوياً 45
الحل أ / محمد شبانه
مفتاح الحل :-
حـ 12 = (12/ 2) [2أ +11ء]
عوض ويكون 2أ + 11ء = 5.........(1)
ح 4×ح6 -ح2×ح8 = 8/ 9 ......(2) لاحظ ح 4×ح6 يزيد عن ...... يعنى هو الكبير
عوض واختصر من (1) ,(2)
يكون ء الموجبه = 1/ 3 ,أ =2/ 3

المتتابعه (2/ 3, 3/ 3 , 4/ 3, .........)
ثانيا:-
حـ ن = (ن/2) [ 2أ + (ن-1)ء]
45 = (ن/ 2)[ ....................]
اكمل ..........................
......................................
ن = 15


ومع اطيب التمنيات

أ.محمد شبانه

[amhateb]

س41 : من مشاركات أ / محمد الباجس
متتابعة حسابية مجموع الحدين الأول والسادس منها يساوى 73 ومجموع العشرة حدود الأولى منها يساوى 225 . أوجد هذه المتتابعة . ثم أوجد أقل عدد من الحدود يمكن أخذه ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالباً ؟
الحل أ / محمد شبانه
بسم الله الرحمن الرحيم

مفتاح الحل :-

ح 1+ح 6 = 73
اكمل ...........
يكون 2أ +5ء = 73 ......(1)

$ حـ ن = (ن/2)[ 2أ +(ن-1)ء]
حــ 10 = ..........
اكمل وعوض عن حـ 10 = 225
................................
يكون 2أ + 9ء = 45 .......(2)
اكمل من (1) ,(2)
...............................
...........................................
م.ح =( 54, 47, .................)

لكى يكون المجموع سالب
حـ ن < 0
اى (ن/2) [ 2أ + (ن-1)ء] < 0
اى 2أ + (ن-1)ء < 0
عوض واختصر
يكون ن > 16 , كسر اى ن =17
وذلك هو اقل عدد يعطى مجموعا سالبا (لاجظ المتتابعه تناقصيه)

ومع اطيب التمنيات لابتاؤنا وخالص الشكر لاستاذنا محمد الباجس على حسن الاختيار


أ.محمد شبانه

[amhateb]

س42 : من مشاركات Mr.Ahlawy
ثلاثة أعداد تكون متتاعبة هندسية مجموعها 35 , وإذا طرح 1 من العدد الأول
2 من العدد الثاني وطرح 8 من العدد الثالث كونت النواتج متتابعة حسابية .
أوجد الأعداد الثلاثة .
الحل أ / محمد شبانه
بسم الله الرحمن الرحيــــــم

تفرض الاعداد أ ,أر, أر*2 (* تعنىاس)

ويكون أ +أر +أر*2=35

اى أ(1+ر+ر*2) =35 .....(1)
& ÷-1 , أر -2 , أر*2-8 تكون م.ح

اى 2(أر -2) = (أ-1) +(أر*2- 8)
وبالفك والاختصار والمشترك يكون
أ(ر*2 -2ر+1) = 5 ....... (2)
من (1) ,(2) بالقسمه
يكون (1+ر+ر*2) / (ر*2 -2ر + 1) =7/ 1
اكمل ................
.................................

ومنها 2ر*2 -5ر +2=0
اى (2ر-1))ر-2) =0
اى ر= 1/ 2 أو ر=2
زمن (1)
يكون أ = 20 أو 5

وتكون الاعداد (20, 10, 5) أو (5, 10 , 5)



زمع اطيب التمنبات


أ. محمد شبانه

[amhateb]

س43 : من مشاركات ناريمان سعيد2
الوسط الحسابى لعددين =5/ 3 وسطهما الهندسى , واصغر العددين =9. اوجد العدد الاكبر

الحل
بفرض الاكبر س
يكون(س+9)/2 = (5/ 3) جذر 9س
اى س+9 = 2×5 ×حذرس
بتربيع الطرفين

س*2 +2×9س +81 = 100س
س*2 -82 س +81 =0
اى (س_1)(س-81) =0
اى س =1 مرفوض
& س =81 ####


ومع اطيب التمنيات

أ.محمد شبانه

س44 : من مشاركات ناريمان سعيد2

اذا ادخلت عدة اوساط هندسية بين ( 3 ، 384 ) ، كانت النسبة بين مجموع الوسطين الاولين إلى مجموع الوسطين الأخيرين هى ( 1 : 16 ) فما عدد الاوساط ؟

* المسالة من كتاب الوزارة
( النموذج الثالث ، ص : 153 السؤال رقم : " 3 / ب " ) .
الحل أ / محمد سرور
الوسطين الاوليبن 3ر , 3ر^2
الوسطين الاخريين 384 / ر , 384/ر^2

حيث ان أ= 3 ..................., ل = 384
اذن (3ر +3ر^2 )÷ (384 / ر + 384/ر^2 ) = 1÷16..............بتوحيد المقامات فى المقام على ر^2
اذن
(3ر +3ر^2 )÷ ((384 ر + 384) /ر^2 ) = 1÷16.............ر^2 مقام مقام يطلع مضروبفى البسط

(3ر^3 +3ر^4) ÷( 384ر +384 ) = 1÷ 16 .وبضرب الطرفين × الوسطين نوجد المعادلة

48ر^3 + 48ر^4 = 384 ر +384
اذن
48ر^3 + 48ر^4 ــ 384 ر ــ 384 = 0 .................التحليل بالتقسيم

48ر^3 ( 1+ر) _ 384 (1+ر) = 0 ...............باخذ (1+ر) عامل مشترك
(1+ر) × ( 48ر^3 ــ 384 ) = 0

اذن 1+ر = 0 ...................او 48ر^3 ــ 384=0 .....منها ر^3 = 8
ومنها ر=ــ1 ....................او ر= 2

بما ان
ل = أر^ (ن ــ1 )
384= 3 ×2^(ن ــ 1 ) .............÷ 3
128 = 2^(ن ــ 1 )
2^7 = 2^(ن ــ 1 )
اذن
7 = ن ــ 1
ن = 8 ............عدد الحدود
بما ان عد الاوساط = عدد الحدود ــ 2
اذن عدد الاوساط = 6 اوساط

والاوساط هى أر , أر2 , أر3 , أر4 ,أر5 ,أر6
6, 12, 24 , 48 , 96, 192

[amhateb]

س45 : من مشاركات أ / محمد الباجس
متتابعة هندسية جميع حدودها موجبة إذا زاد حدها الخامس عن حدها الرابع بمقدار 36 و زاد حدها الرابع عن حدها الثانى بمقدار 40 . أوجد حدها الثالث ؟
الحل أ / محمد شبانه
بسم الله الرحمن الرحيم

ار *4-أر*3 =36
اى ار*3(ر-1) =36..............(1)

& أر*3-أر =40
اى ار(ر-1)(ر+1) =40 ........(2)
(1) ÷(2)

يكون 10ر*2 -9ر-9 =0
اى (5ر+3)(2ر-3) =0
اى ر =3/ 2
& أ =64/ 3
&ح 3=48

أ.محمد شبانه

س46 : من مشاركات أ / محمد الباجس
متتابعة هندسية مجموع حديها الأول و الثانى 12 و مجموع حديها الثالث و الرابع يساوى 108 . أوجد المتتابعة ؟
الحل :
بسم الله الرحمن الرحيـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــم

ا +ار =12
اى أ (1+ر) =12 .........(1)
&ار*2+أر*3=108
اى ا{*2(2+ر) =108 .....(2)
(2)÷(1)
يكون ر*2 =9
اى ر= 3 أو ر= -3
ومن (1)
ا= 3 أو أ= -6
المتتابعه (3, 9, 27,.....) او (-6, 18, -54, .....)

أ.محمد شبانه

س47 : من مشاركات أ / محمد الباجس
ما رتبة وقيمة أول حد أصغر من 0.001 فى المتتابعة ( 1 ، 0.2 ، 0.04 ، ...... )
الحل :
ح ن < (1/ 1000)

اى أر*(ن-1) <(1/ 1000)

اى (2/ 10) *(ن-1)< (1/ 1000)
خذ لو للطرفين

يكون (ن-ا) < لو(1/ 1000) /لو(2/ 10)
اى (ن-1) < 4,كسر
اى ن < 5,كسر اى ن =5

أ. محمد شبانه

س48 : من مشاركات أ / محمد الباجس
مجموع ثلاثة أعداد متتالية من متتابعة هندسية يساوى 14 و حاصل ضرب مربعات هذه الأعداد يساوى 4096 . فما هى هذه الأعداد
الحل :
مفتاح الحل:-
أ +أر + أر*2 = 14
اى أ( 1+ر+ر*2) =14 ..........(1)

& ا*2×ا*2ر*2×أ*2ر*4 = 4096

اى (أر)*6 =4096 = (+أو- 4)*6

اى أر =4 أو أر = -4 .....(2)
من (1) ,(2) بالقسمه
2ر*2 _5ر+2 =0
اى( 2ر-1)(ر-2) =0
اى ر= 1/ 2 او ر=2
ومن (2)
أ =8 أو أ =2
الاعداد (8, 4, 2) أو (2, 4, 8)


أ.محمد شبانه