الحالات الخاصة من متوازى الأضلاعpps

[محمد الحليسى باشا]

ملاحظات :
1- حجم المكعب = طول الحرف × نفسه × نفسه
مثلا : مكعب طول حرفه 5 سم يكون حجمه = 5 × 5 × 5 = 125 سم3
و إذا كان حجم مكعب 64 سم3 فإن طول حرفه = 3 [ 64: = 4 سم
2- الجذر التكعيبي لعدد نسبي موجب يكون موجبا ، الجذر التكعيبى لعدد نسبى سالب سالب
3- المعادلة التي على الصورة س3 = ا لها حل وحيد هو س = 3 [ ا
مثمثلا : حل المعادلة س3 = 8 ( بأخذ الجذر التكعيبي للطرفين ) إ س = 2
4- إذا كان العدد تحت الجذر التكعيبي كبيرا نحلله إلى عوامله الأولية
مثلا : 3 [ 343: = 3 [ { 7:: :}3 = 7 ، 3 [ 1728:: = 3 [ { :::4:×: :3: :}3 = 4 × 3 = 12
5- 3 [ ا × 3 [ ا × 3 [ ا = ا ، ( 3 [ ا )3 = ا ، 3 [ ا = ا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : حل المعادلات الآتية في نن : (أ) س3 = 8 (ب) س3 – 1 = 26
( بح) ( س + 3 )3 = 125 (د) ( 2 س – 1)3 – 20 = 44
( هـ ) 3 [ س = 5 ( ط ) 3 [ س = - [ 4
الحل : (أ) بم س3 = 8 ( بأخذ الجذر التكعيبي للطرفين ) إ س = 2 إ م .ح = {2}
(ب) بم س3 – 1 = 26 إ س3 = 26 + 1 إ س3 = 27 إ س = 3 ، م.ح {3}
( بح) بم ( س + 3 )3 = 125 إ س + 3 = 5 إ س = 2 إ م . ح = {2}
( د ) بم ( 2 س – 1)3 – 20 = 44 إ ( 2 س – 1)3 = 44 + 20 = 64
إ 2 س – 1 = 4 إ 2 س = 4 + 1 إ 2 س = 5
إ س = ، إ م . ح = { }
(هـ) 3 [ س = 5 بتكعيب الطرفين إ س = 125 إ م . ح = { 125 }
( ط ) 3 [ س = - [ 4 إ 3 [ س = - 2 بتبتكعيب الطرفين إ س = - 8
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* حجم الكرة = بب قق3 حيث ( بب = ط = أ، 3.14 أ، 3.141)
، نق نصف قطر الدائرة نق
مثال : أوجد طول قطر الكرة التي حجمها 113.04 سم3 ( بب = 3.14 )
الحل : حجم الكرة = بب نق3 إ 113.04 = × 3.14 × نق3
تابع الحل : نق3 = = 27 إ نق = 3 سم إ طول القطر = 6 سم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارين علي الجذر التكعيبي
[1]


[2]






[3] إناء مكعبُ الشكل سَعته لتر واحد ، احسب طول حرفه .
[4] كرة حجمها بب وحدة مكعبة . أوجد طول قطرها .
[5] أوجد قيمة س في كل من الحالات الآتية :
(أ) 3 [ س = 2 (ب) س3 = - 8 (جـ) س2 = 36 (د) 3 [ س = -
[6] أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات الآتية في نن :
(أ) س3 + 8 = 0 (ب) 8 س3 + 7 = 8 (د) ( س – 3 )3 = 343
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مجموعة الأعداد غير النسبية ن َ
العدد غير النسبي :
هو العدد الذى لا يمكن وضعه على الصورة حيث ا، ب ي صص ، ب لآ0
مثلا : إذا كان س2 = 2 فإن س = [ 2 يي صننن ، إذا كان س3 = 4 فإن س = 3 [ 4 يي نن
أمثلة على الأعداد غير النسبية :
1- الجذور التربيعية لأعداد ليست مربعات كاملة ( على صورة ب2 )
مثلا : [ 5 ، [ 6 ، [4خح./0/ ، ، 0000
2- الجذور التكعيبية لأعداد ليست مكعبات كاملة ( على صورة ب3 )
مثلا : 3 [ 2 ، 3 [ 6 ، 3 [4خح0/./0/ ، ، 0000
3- النسبة التقريبية ط أ, بب
ملاحظات : 1- نن ط نن َ = ف 2- أي عدد غير نسبى تقع قيمته بين عددين نسبيين
مثال : وضح نوع كل من الأعداد الآتية من حيث كونه عدد نسبي أو غير نسبي :
[3خح1/ ، [6خح9/./1/ ، صفصفر ، - 9 ، 2 + [2خح / ، 3 ، 3 [6خح1/./0/
الحل : [3خح1/: عدد غير نسبي لانه لا يوجد عدد نسبي مربعه 13
، [6خح9/./1/ عدد نسبي لانه يساوى 1.4 ، يمكن كتابته على الصورة
، صفر عدد نسبي لان = صفر
، - 9 عدد نسبي لانه يمكن كتابته على الصورة
، 2 + [2خح / عدد غير نسبي لانه لا يوجد عدد نسبي مربعه يساوى 2
، 3 عدد غير نسبي لأنه لا يوجد عدد نسبي مكعبه يساوى
، 3[6خح1/./0/ عدد غير نسبي لأنه لا يوجد عدد نسبي مكعبه يساوى 0.16
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : أوجد مجموعة الحل للمعادلات الآتية : س ي نن َ
(1) س3 = 7 (2) س3 = - (3) س2 – 5 = 3
الحل : (1) س3 = 7 إ س = 3 [7 ي نن َ إ م . ح = { 3 [7 }
(2) س3 = - إ س = - 3 [ ي نن َ إ م . ح = { - 3 [ }
(3) بم س2 – 5 = 3 بضرب الطرفين في 2 إ س3 - 10 = 6
إ س2 = 16 إ س = _ 4 يي نن َ إ م . ح = ف
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : إذا كان س عدد غير نسبي فهل س2 عدد نسبي دائما ؟ وضح بمثال .
الحل : ليس صحيح دائما فإذا كانت س = 3 [ 2 فإن س2 = 3 [ 4 يي نن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
• إيجاد قيمة تقريبية للعدد غير النسبي :
ملحوظة : باستخدام الآلة الحاسبة نجد أن بعض الأعداد غير النسبية يمثل بعدد عشري غير منته و غير دائر ويلاحظ أن قيمته تقريبية تنحصر بين عددين نسبيين .
مثال : أثبت أن : [2خح / ينحصر 1.2 ، 1.3
الحل : بم ( [2 )2 = 2 ، ( 1.2)2 = 1.44 ، ( 1.3)2 = 1.69
، بم 1.69 < 2 < 1.44 إ [9خح6/./1/ < [2خح / < [4خح4/./1/
إ 1.3 < [2خح / < 1.4 أي أن : [2خح / ينحصر بين 1.3 ، 1.4
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : أثبت أن : 3 [15 / ينحصر 2.4 ، 2.5
الحل : بم ( 3 [5خح1/ )3 = 15 ، (2.4)3 = 12.167 ، (2.5)3 = 15.625
، بم 12.167 < 15 < 15.625
إ 3 [7خح6/1/./2/1/ < 3 [5خح1/ < 3 [5خح2/6/./5/1/
إ 2.4 < 3 [5خح1/ < 2.5 أي أن 3 [5خح1/ ينحصر بين 2.4 ، 2.5
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : أوجد عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد [5خح /
الحل : ( نختار عددين صحيحين كل منهما مربع كامل ، و العدد المطلوب ينحصر بينهما )
بم 4 < 5 < 9 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين إ [4خح / < [5خح / < [9خح /
إ 2 < [5خح / < 3 أي أن : [5خح / = 2 + كسر أقل من الواحد الصحيح
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : أوجد عددين صحيحين متتاليين ينحصر بينهما العدد 3 [0خح1/
الحل : ( نختار عددين كل منهما مكعب كامل ينحصر بينهما العدد المطلوب )
بم 8 < 10 < 27 إ 3 [8 < 3 [10 < 3 [7خح2/ إ 2 < 3[0خح1/ < 3
إ 3[0خح1/ = 2 + كسر أقل من واحد صحيح
مثال : (أ) أوجد لأقرب جزء من مائعة قيمة [1خح1/ [ 3.32 ]
(ب) أوجد لأقرب جزء من عشرة قيمة 3[2خح // [ 1.2 ]
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
• تمثيل العدد غير النسبي على خط الأعداد
ملحوظة هامه : كل عدد غير نسبي تمثله نقطة على خط الأعداد .
هناك أكثر من طريقة لتمثيل العدد غير النسبي مثلا : استخدام نظرية فيثاغورث
و نصف دائرة ، قوس الدائرة ( طريقة عامة و تستخدم أكثر)
صيغ السؤال هي: 1- عين النقطة التي تمثل العدد 000 على خط الأعداد
2- وضح على خط الأعداد النقطة التي تمثل العدد غير النسبي 000
3- ارسم خط الأعداد و مثل عليه العدد غير النسبي 0000
تذكرة : نظرية فيثاغورث في المثلث القائم بم ق { ب؟ } = 90 ْ
إ ( ا ج }2 = ( ا ب )2 + ( ب ج )2
إ ( ا ب )2 = ( ا ج )2 - ( ب ج )2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : عين النقطة التي تمثل العدد [5خح / على خط الأعداد .
الحل : باستخدام نظرية فيثاغورث نبحث عن عددين مربعين مجموعهما ( يمثل الوتر ) أو الفرق
بينهما( يمثل أحد ضلعي القائمة ) يساوى العدد 5 .
بم 5 = 1 + 4 إ ( [5 )2 = ( 1 )2 + ( 2 )2




خطوات الحل :
1- نرسم من النقطة ب على خط الأعداد التي تمثل العدد ( 2 ) عمودا ، نأخذ النقطة ا بحيث
ا ب = 1 سم ثم نصل ا و ، يكون ا و = [5خح /
2- نركز بالفرجار في نقطة و ، و فتحة طولها = ا و نرسم قوسا يقطع خط الأعداد علي
يمين ب ، في نقطة د فتكون د هي النقطة التي تمثل العدد [5خح /
حل أخر : ( الطريقة العامة لتمثيل أي عدد غير نسبي )
لرسم قطعة مستقيمة طولها = [5خح / وحدة طول
فإن طول وتر المثلث = = = 3 وحدة طول
و طول أحد ضلعي القائمة = = = 2 وحدة طول




مثال : عين على خط الأعداد النقطة التي تمثل العدد : 2 + [7خح /
الحل : نوجد العددين : ، أي = 4 ، = 3
تابع الحل : طول الوتر = 4 وحدة طول ، طول أحد ضلعي القائمة = 3


النقطة ب تمثل العدد 2 + [7خح / على خط الأعداد
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : عين النقطة التي تمثل العدد [ خح3/ - 1 علي خط الأعداد .
الحل : نوجد العددين ، أي = 2 ، = 1



النقطة د تمثل العدد [ خح3/ - 1 علي خط الأعداد
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مثال : وضح على خط الأعداد النقطة التي تمثل العدد 2 [5خح /
الحل : نوجد العددين ، أي = 3 ، = 2


النقطة د تمثل العدد 2 [5خح /
مثال : أوجد طول قطر مربع مساحته 5 سم2
الحل : نفرض أن طول ضلع المربع = ل وحدة طول
إ مساحة المربع = ل × ل = ل2 وحدة مساحة إ ل2 = 5
إ ل = [5خح / سم ، ل = - [5خح / سم مرفوض
بم ∆ ا ب ج قائم الزاوية في ب ( من خواص المربع )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارين علي العدد غير النسبي
[1] اختر الإجابة الصحيحة من بين الأقواس :
(1) المربع الذي طول ضلعه [3خح / سم تكون مساحة سطحه = 000 ( 4 [3خح / ، 9 ، 3 ، 6 )
(2) العدد غير النسبي المحصور بين 3 ، 4 هو 000 ( 3.5 ، ، [7خح / ، [0خح2/ )
(3) العدد غير النسبي المحصور بين – 2 ، - 1 هو 000 ( - 3 ، - 1، - [3خح / ، [2خح / )
(4) [0خح1/ ت 0000 ( 2.99 ، 3.71 ، 3 ، - 3.2 )
(5) أقرب عدد صحيح للعدد 3 [5خح2/ هو 000 ( 5 ، 3 ، 2 ، 12.5 )
(6) المربع الذي مساحته 10 سم2 يكون طول ضلعه 000 سم ( 5 ، - 5 ، [0خح1/ ، - [0خح1/ )
(7) المكعب الذي حجمه 64 سم3 يكون طول حرفه 000 سم ( 8 ، 4 ، 16 ، 64) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ [2] أوجد :
(أ) عددين صحيحين متتالين ينحصر بينهما العدد [2خح1/
(ب) عددين صحيحين متتالين ينحصر بينهما العدد 3 [-0خح2/ /
(جـ) لأقرب جزء من مائعة قيمة [3خح1/ ( د ) لأقرب جزء من عشرة قيمة 3 [2خح /
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
[3] أثبت أن : (أ) [3خح / ينحصر بين 1.7 ، 1.8 (ب) 3 [5خح1/ ينحصر بين 2.4 ، 2.5
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
[4] ارسم خط الأعداد و حدد عليه النقطة التي تمثل العدد غير النسبي [3خح / ، 1 + [2خح /
[5] أوجد مجموعة حل كل من المعادلات الآتية فيى نن َ :
(أ) س2 = 5 (ب) س3 = 7 (جـ) س2 = 1 ( د) س3 = 125
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
[6] ارسم المثلث ا ب ج القائم الزاوية في ب حيث ا ب = 2 سم ، ب ج = 3 سم و استخدم الشكل في تحديد النقطة التي تمثل العدد [3خح1/ ، و النقطة التي تمثل العدد - [3خح1/ على خط الأعداد