مراجعات و اسئلة المنهج القديم

[محمود طه القالع]

أوجد أقل عدد من حدود المتتابعة الحسابية
( 45 ، 42 ، 39 ، 0000000000 ) ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالب وأوجد هذا المجموع ؟
الحل
ﺟ ن < صفر
( ن / 2 )[ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ] < صفر
2 أ + ( ن – 1 ) ء < صفر
2 × 45 + ( ن – 1 ) × ــ 3 < صفر
90 – 3 ن + 3 < صفر
93 – 3ن < صفر
93 ن < 3 ن (÷2)
31 < ن
ن = 32
ﺣ ن =( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 32= ( ن / 2 ) [ 2 × 45+ ( 32 – 1) × – 3]
جـ 32 =16 [ 90 – 31 × 3 ]
جـ 32 = 16 × [ 90 – 93 ] = 16 × – 3 = – 48

[محمود طه القالع]

متتابعة حسابية تناقصية النسبة بين حديها الثالث والثامن هى 2 : 5 ، حدها الخامس يساوى مكعب حدها الأول أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح3 : ح8 = 2 : 5
أ + 2ء : أ + 7 ء = 2 : 5
أ + 2 ء / أ + 7ء = 2/5

5 أ + 10 ء = 2أ + 14 ء
5 أ – 2أ = 14ء – 10 ء
3 أ = 4 ء (1)
ح5 = ح1 3
أ + 4 ء = أ3 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن :
أ + 3أ = أ3
أ3 – 4 أ = 0
أ ( أ2 – 4 ) = 0
أ ( أ – 2 ) ( أ +2) = 0
أ = 0 مرفوض أ = 2مرفوض أ = ــ 2
بالتعويض فى (1) نجد أن
3 × ــ 2 = 4 ء
ء = - 3 / 2
المتتابعة هى : ( ــ 2 ، - 7 / 2، ــ 5 ، 00000 )

[محمود طه القالع]

أوجد متتابعة حسابية مكونة من 21 حدا ً ، مجموع الأحد عشر حدا ًالأولى منها 91 ، مجموع الأحد عشر حدا ً الأخيرة = 385
• أوجد المتتابعة
• أوجد مجموع الثلاثة حدود الوسطى منها ؟
الحل

الأحد عشر حدا ًالأولى :
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
91=( 11 / 2 )[ 2 أ+ ( 11 – 1) ء ]
182 = 11[ 2أ +10 ء ]
91 = 11أ + 55 ء
11 أ + 55 ء = 91 (1)
الأحد عشر حدا ًالأخيرة :
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
385=( 11 / 2 ) [ 2 ح11 + ( 11 – 1) ء ]
385 = 11[ ( أ + 10 ء ) + 5 ء ]
35 = أ + 10 ء +5ء
35= أ + 15 ء (÷2)
أ + 15 ء = 35 (2)
11 أ + 55 ء = 91 (1)
14 ء = = 42 (÷ 14)
ء = 3
بالتعويض فى (1) نجد أن
أ + 3 × 3 = 13
أ + 9 = 13
أ = 4
المتتابعة هى ( 4 ، 7 ، 10 ، 00000 )

رتبة الحد الأوسط = ن + 1 / 2 = 21 + 1 / 2 = 22 / 2 = 11

الحدود الثلاث الوسطى هى ( ح 10 ، ح11 ، ح 12 )
ح 10 + ح11 + ح 12 = أ + 9 ء + أ + 10 ء + أ + 11 ء
= 3 أ + 30 ء
= 3 × 4 + 30 × 3 = 102

[محمود طه القالع]

اثبت أن ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حسابية حيث س ، ص Э ح+ وإذا كانت س= 160 ,ص = 1 / 2 أوجد مجموع الحدود التسعة الأولى بدون الآلة الحاسبة ؟
الحل
ح ن = لـــو س ص ^ن + 1 = لـــــــو س + لـــــــو ص^ ن ــ 1
ح ن = لــــو س + (ن ــ 1) لـــــو ص
ح ن = لــــو س + ن لــــــو ص ــ لـــــو ص
ح ن = لــــو س ــ لـــــو ص + ن لــــــو ص دالة من الدرجة الأولى فى ن
ح ن = لـــو س ص^ ن ــ 1 متتابعة حـــــســابية أساسها ء = لــــو ص (نظرية )
ح1 = لـــو 160 × ( 1 / 2)^ 1 ــ 1 = لــــــو 160 × 1 = لـــــو 160

ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
جـ 2= ( 9 / 2 )[ 2 لــــو 160+ ( 9 – 1) لــــو 1 / 2]
جـ 2 = ( 9 / 2 ) [ 2 لـــــو 160 + 8 لـــــو 1 / 2]
جـ 2 = ( 9 / 2)× 2 [ لـــــو 160 + 4 لـــــو 1 / 2]
جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 + لـــــو 1 / 16]
جـ 2 = 9 [ لـــــو 160 × 1 / 16 ] = 9 × لـــــــــو 10 = 9 × 1 = 9

[محمود طه القالع]

فى المتتابعة ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000000 )
• أوجد مجموع العشرة حدود الأولى
• أوجد مجموع العشرة حدود التالية
• كم حدا ً يلزم أخذها ابتداء ً من الحد الأول ليكون المجموع 176 ( فسر الجواب )
الحل
المتتابعة هى ( 36 ، 32 ، 28 ، 0000 )
مجموع العشرة حدود الأولى
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن =( 10 / 2 )[ 2× 36 + ( 10 – 1) ×ــ 4 ]
ﺣ ن = 5[ 72 – 36 ] = 5 × 36 = 180
ح11 = أ + 10 ء = 36 + 10 × ــ 4 = 36 – 40 = – 4
مجموع العشرة حدود التالية
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2ح11 + ( ن – 1) ء ]
ﺣ ن = ( 10 / 2 ) [ 2× – 4 + ( 10 – 1) × – 4]
ﺣ ن = 5[ ــ 8 – 36 ] = ــ 220
ليكون المجموع 176
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
176=( ن / 2 )[ 2× 36 + ( ن – 1) ×ــ 4 ]
352= ن[72 – 4 ن + 4 ]
352 = ــ 4 ن2 + 76 ن
4 ن2 – 76 ن + 352 = 0 (÷4)
ن2 – 19ن + 88 = 0
( ن – 8 )( ن – 11 ) = 0
ن = 8 ن = 11
التفسير هو : ح9 + ح10 + ح11 = صفر

[محمود طه القالع]

متتابعة حسابية تناقصية النسبة بين حديها الثالث والثامن هى 2 : 5 ، حدها الخامس يساوى مكعب حدها الأول أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح3 : ح8 = 2 : 5
أ + 2ء : أ + 7 ء = 2 : 5
أ + 2 ء / أ + 7ء = 2/5

5 أ + 10 ء = 2أ + 14 ء
5 أ – 2أ = 14ء – 10 ء
3 أ = 4 ء (1)
ح5 = ح1 3
أ + 4 ء = أ3 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن :
أ + 3أ = أ3
أ3 – 4 أ = 0
أ ( أ2 – 4 ) = 0
أ ( أ – 2 ) ( أ +2) = 0
أ = 0 مرفوض أ = 2مرفوض أ = ــ 2
بالتعويض فى (1) نجد أن
3 × ــ 2 = 4 ء
ء = - 3 / 2
المتتابعة هى : ( ــ 2 ، - 7 / 2، ــ 5 ، 00000 )


•ملحوظة : إذا كان عدد حدود المتتابعة فردى وأقل من عشرة بشرط أن يكون مجموعهم معلوم نفرض المتتابعة على الصورة :
• 000 ، أ – ء ، أ ، أ + ء ، 0000

[محمود طه القالع]

متتابعة حسابية مجموع حديها الثانى والثالث – 7 ومجموع مربعيهما 29 أوجد المتتابعة
الحل
ح2 + ح3 = – 7
أ + ء + أ + 2ء = – 7
2 أ + 3ء = – 7
2 أ = – 7 – 3ء
أ = ( - 7 - 3 د ) / 2 00000000 (1)

( ح2 )2+( ح3 )2= 29
( أ + ء )2+( أ + 2ء )2 = 29 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن
[ (( - 7 - 3 د ) / 2) + ء ]^2 + [( ( - 7 - 3 د ) / 2)+ 2ء ]^2= 29

( – 7 – 3ء + 2ء / 2 )^2 + ( – 7 – 3ء + 4ء / 2 )^2 = 29

( - 7 - د / 2)2 + (- 7 + د / 2 )2 = 29

49 + 14 ء + ء2 / 4 +49 – 14 ء + ء2 / 4 = 29

98 + 2ء2 / 4 = 29

98 + 2ء2 = 116
2ء2 = 18
ء2 = 9
ء = 3 بالتعويض في (1)
أ = ــ 8
المتابعة هي ( ــ 8 ، ــ 5 ، ــ 2 ، 000 )
ء = ــ 3 بالتعويض في (1)
أ = 1
المتتابعة هي ( 1 ، ــ 2 ، ــ 5 ، 0000 )

[محمود طه القالع]

إذا كانت ( 75 ، 3 س ، 00000 ، 2س ، 45 ) متتابعة حسابية اوجد قيمة س
اوجد عدد حدود المتتابعة ؟
الحل
3س – 75 = 45 – س
3س + 2س = 45 + 75
5س = 120 ( ÷5)
س = 24
( 75 ، 72 ، 00000، 48 ، 45 )
ح ن = 2 أ + ( ن – 1 ) ء
45 = 2 × 75 + ( ن – 1 ) × ( ــ 3)
45 = 150 – 3 ن + 3
45 = 153 – 3ن
3ن = 153 – 45 = 108
ن = 36

[مستر محمود امام]

جزاكم الله كل خير واكثر من امثالك

[محمود طه القالع]

(ح ن)= (2ن+2 اس ن) اوجد مجموع السبعه حدود الاولى منها ابتداء من الحد الاول
الحل
يكون هبارة عن \
متتابعتين
الاول حسابية حدها العام
(ح ن)= (2ن ) ويكون مجموع السبع حدود = 56
الثانية متتابعة هتدسية
(ح ن)= (2 أس ن )
ويكون مجموعهما = 510
ويكون المجموع الكلي = 56 + 510 = 566

[عبدة قورة]

[محمود طه القالع]

في متتابعة هندسية توجد 4 اعداد. مجموع الاعداد الثلاثة الاخيرة اكبر بأربع مرات من مجموع الاعداد الثلاثة الاولى. مجموع العددين الاول والثاني هو 5 أوجد حدود المتتابعة
الحل

بفرض الاعداد ( أ , أ ر, أ ر^2 , أر^3 )
أر + أرـ^2 + أ ر^3 = 4 ( أ + أر + أر^2 ) ,, بالقسمة على أ
ر+ ر^2 + ر^3 = 4 ( 1 + ر + ر^2 )
ر( 1 + ر+ ر^2 ) = 4 ( 1 + ر+ر^2 )
( 1 + ر+ ر^2 ) ( ر -4 ) = 0
أما ر= 4 أ و ر =( -1+- جذر3 ت ) /2 مرفوض
ولكن : أ + أر = 5 ,, 5 أ = 5 , أ =1
الحدود هي ( 1 , 4 , 16 , 64 )
حل أخر
نفرض الأعداد هي : أ/ ر ، أ ، أ ر ، أ ر^2

مجموع الحدود الثلاثة الأخيرة = أ ( 1 + ر + ر^2 )

مجموع الحدود الثلاثة الأولي = أ ( 1 + ر + ر^2 ) / ر


ر أ ( 1 + ر + ر^2 ) = 4 أ ( 1 + ر + ر^2 )

أذن ر = 4 عدد حقيقي وحيد

مجموع العددين الأول والثاني = 5

أ ( 1/4 + 1 ) = 5 ===> أ = 4

الأعداد هي : 1 ، 4 ، 16 ، 64

[alrays]

ربنا ينجح كل واحد

[محمود طه القالع]

بالتوفيق للحميع

[zenab abdallah]

جزاك الله كل خير