مرجع المتتابعات

[Ahmed Magdy Beshr]

شكرا لللللللككككككككككك

[amhateb]

س51 : من مشاركات لومي _ مرمر
اذا كان ( س ، ص ، ع ) فى تتابع حسابى اثبت ان ( س + ص ، س + ع ، ص + ع ) فى تتابع حسابى ايضا
الحل : أ / محمد صبره
نفرض أن س = أ ، ص = أ + د ، ع = أ + 2د
س + ص = 2أ+د ،
س + ع = 2أ+2د
ص+ع=2أ+3د
من الواضح أن س+ص ، س+ع،ص+ع متتابعة حسابية حدها الأول 2أ+د وأساسها د
س52 : من مشاركات لومي _ مرمر
عددان موجبان الفرق بينهما 18 وحاصل ضربهما يزيد عن ثلاثه امثال وسطهما الحسلبى بمقدار 7 فها هما العددان

الحل : بفرض العددان س,ص &س>ص

يكون س-ص =18 .....(1)
,س ص - 3(س+ص)/2 =7 .....(2)

من (1) ,(2)

س*2-21س +20 =0
(س-20)( س -1) =0
اى س =20 أوس =1 مرفوضه

, ص =2

أ.محمد شبانه

[amhateb]

س53 : من مشاركات لومي _ مرمر الأوساط الهندسية والحل للأستاذ / محمد
عددان موجبان وسطهما الحسابي يزيد عن وسطهما الهندسي بمقدار 3 ونصف وحاصل ضرب العددين يزيد عن وسطهما الهندسي بمقدار 182 اوجدهما

نفرض أن الوسط الهندسي = ك ،
الوسط الهندسي = م
ك – م = 3.5
م 2 - م = 182
( م - 14 ) (م + 13) = 0
الوسط الهندسي م = 14 أ ، م = -13 ( يرفض)
الوسط الحسابي ك = 17.5
س+ ص = 35 ، س ص = 196
س2 – 35 س + 196 = 0
( س – 28 ) ( س – 7 ) = 0
س = 28 أ، س = 7
ص = 7 أ، ص = 28
العددان هما 7 ، 28

س54 : من مشاركات لومي _ مرمر الأوساط الهندسية والحل للأستاذ / محمد
ثلاثة أعداد في تتابع هندسي مجموعهما 21 وإذا أضيف لثانيها 3 علي 2 كانت النواتج في تتابع حسابي اوجد الأعداد الثلاثة الأصلية


نفرض الأعداد: هي أ ، أ ر ، أ ر 2

أ ( 1 + ر + ر 2) = 21 ...................( 1)
(أ + أ ر 2)/2 = أ ر + 3/2
(أ + أ ر 2) = 2 أ ر + 3
أ ( 1 - 2ر + ر 2) = 3 ................. ( 2)
( 1) – ( 2)
3 أ ر = 18...................( 3)

(1) / (3)

(1 + ر + ر 2)/ ر = 7 / 2


2 ر2 - 5ر + 2 = 0
( 2 ر – 1 ) ( ر – 2 ) = 0
ر = 0.5 أ، ر = 2
أ = 12 أ ، ر = 3
الأعداد هي 12 ، 6 ، 3

س55 : من مشاركات لومي _ مرمر الأوساط الهندسية والحل للأستاذ / محمد
اذا كانت س ، ص ،3ع ، 4ل اعداد موجبه في تتابع هندسي
اثبت ان ( س + 3 ع ) ( ص + 4 ل) > 12ص ع
الحــل
س ، ص ، 3 ع ......... م . هـ .
س + 3 ع > 2 ص ........( 1 )
ص ،3ع ، 4ل ........... م . هـ .
ص + 4 ل >6 ع ......... ( 2 )
من ( 1 ) ، ( 2 )
( س + 3 ع ) ( ص + 4 ل) > 12ص ع

[amhateb]

س56 : من مشاركات أ / محمد الباجس والحل للأستاذ / محمد شبانه

أوجد المتتابعةالحسابية التى مجموع حدودها ابتداء من الحد الثانى يساوى -36
ومجموع حدودها عدا الحد الأخير يساوى صفر والفرق بين حدها العاشر وحدها السادس
يساوى -16
الحل :
ح2 +ح3 +ح4+......... +ح ن-1 +ح ن = -36 .........(1)

ح1 +ح2+ح3 +ح4+......... +ح ن-1 =0 .............(2)
_________________________________________ بالطرح

يكون ح ن - ح1 =-36
اى أ+ (ن-1)ء -أ =-36
اى (ن-1)ء =-36 وحيث (ن-1) > او = 0 اذن ء سالبه
اى ان المتتابعه تناقصيه
&ح10 - ح6 =-16
اى (أ+9ء)-(أ+5ء) = -16 اى ء= -4
ومن (1) (ن-1)×-4 = -36 وتكون ن =10
وبما أن ح1 +ح2+ ........... +ح9 =0
يكون (9/ 2) ( ح1 +ح9) =0
اى أ +أ+8ء =0
اى 2أ -32 =0 اى أ = 16
وتكون المتتابعه ( 16, 12 , 8, .......... , -20)

[amhateb]

س57 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد
اثبت ان ح ن = 4 ن + 3 متتابعه حسابيه ثم احسب عدد الحدود اللازم اخذها ابتداء من الحد الحد الاول حتى تكون النسبه بين مجموع الثلث الاول : مجموع باقى الحدود كنسبه 5 : 34
الحـــــــل
ح ن = 4ن +3 ( من الدرجة الأولي في ن )
يمثل الحد العام للمتتابعة التي

نفرض المتتابعة عدد حدودها 3 ن
( 7 ، 11 ، 15 ،.........، { 4ن + 3} ،......................... { 12ن +3})
جـ ن الأولي : حـ 2ن الأخيرة = 5 : 34
جـ ن الأولي : حـ 3ن = 5 : 39

ن ( 7 + 4 ن + 3 )/2 : 3ن ( 7 + 12 ن + 3 )/2 = 5: 39

2 ن + 5: 6 ن + 5= 13:5
26ن + 65 = 30 ن+ 25
4ن = 40
ن = 10
عدد الحدود = 30 حداً

س58 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد
اذا كان مجموع ن حدا الاولى من متتابعه حسابيه يعطى من القانون
جـ ن = ن ( 3 ن - 1 )/ 2 اوجد المتتابعه ثم اوجد حدها التاسع عشر
ثم اوجد عدد الحدود اللازم اخذها ابتداء من حدها الاول ليكون المجموع 532
الحـــــــــــــــــــل
جـ 1 = ح 1 =2/2= 1
جـ 2 = ح 1 + ح 2 = 5، ح 2 = 4
المتتابعة ( 1 ، 4 ، 7 ، ......... )
ح 19 = أ + 18 ء
= 1 + 18 * 3 = 55
جـ ن = ن ( 3 ن - 1 ) / 2 =532
3 ن 2 - ن – 1064 = 0
( 3 ن +56 ) ( ن - 19 ) = 0
ن = - 56 / 3 ( ترفض ) أ، ن = 19 حداً

س59 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد
متتابعه حسابيه عدد حدودها 21 حدا وحدها الاوسط = 33 ومجموع الحدود التاليه للحد الاوسط يساوى ثلاثه امثال مجموع الحدود السابقه له اوجد المتتابعه
الحـــــــــــل

3جـ ن الأولي = جـ ن الأخيرة

3جـ ن الأولي+33 +جـ ن الأولي = جـ ن الأخيرة +33+ جـ ن الأولي

جـ للمتتابعة = 4 جـ ن الأولي + 33
21*33 = 4 *10 ( 33 - ء + 33 - 10ء )/2 + 33
660= 20( 66 - 11 ء)
33 = 66 - 11ء
ء = 3
ح11 = أ + 10 ء
33 = أ +30
أ= 3
المتتابعة ( 3 ، 6 ، 9 ، .........)

س60 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد
متتابعة حسابيه مجموع العشرين حدا الأولى منها = 190 مجموع العشرة حدود التالية لها 395 اوجد المتتابعة ثم اوجد مجموع عشره حدود منها ابتداء من حدها الثالث
الحـــــــــــــــــــل
جـ ن = ن[ 2أ + ( ن-1 ) ء ]/2
جـ 20 = 20[ 2أ + 19 ء ]/2 =190
2أ + 19 ء = 19 .............. ( 1)
جـ 10 التالية= 10[2 (أ+ 20 ء) + 9 ء ]/2 =395
2أ + 49ء= 79 ............... (2)
(2) - (1)
30ء = 60 ء=2
2أ + 38 = 19
2أ = - 19
أ = - 9.5
المتتابعة ( -9.5 ، - 7.5 ، -5.5 ، ......... )
جـ 10 من ح 3 = 10[2 (-5.5) + 9 *2 ]/2 =35


س61 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد

متتابعة حسابيه مجموع حديها الثاني والثالث = 26 ومجموع العشرين حدا الأولى منها = 900 اوجد المتتابعة
الحـــــــــــــــــــل
(أ + ء) + (أ + 2ء) = 26
2أ + 3ء = 26
جـ 20 = 20[ 2أ + 19 ء ]/2 =900
2أ + 19 ء = 90
16 ء = 64
ء = 4
2أ +12 = 26
2أ = 14
أ = 7
المتتابعة ( 7 ، 11 ، 15 ، ...........)


س62 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد
* اذا اخذنا 25 حدا من المتتابعة الحسابية ( 48 ، 46 ، 44 ، .....) ليكون المجموع 350 فما رتبه الحد الذي نبدأ به
الحـــــــــــــــــــــل
جـ 25 = 25[2 {48+ ( ن- 1) *( -2)} + 24 *( -2) ]/2 =350

48 – 2 ن + 2- 24 =14
2 ن =12
ن = 6 نبدأ بالحد السادس

• اذا كان ح ن = 2 ن - 1 اوجد مجموع الحدود من الحادي عشر وحتى الحد العشرين
الحـــــــــــــــــــــــل
جـ 10 = 10[ ح11 + ح20] /2
= 5[21 + 39 ]
= 300

س63 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد

اثبت أن 1 + 3 + 5 + .... إلى ن من الحدود / 2 + 4 + 6 + ..... إلى ن من الحدود
= ن / ن – 1

( 1+ 3 + 5 + ............. الى ن)
جـ ن = ن[ 2أ + ( ن-1 ) ء ]/2
جـ ن = ن[ 2 + ( ن-1 ) 2 ]/2
= ن2....................... (1)
( 2 + 4 + 6 + ……….... الى ن)
جـ ن = ن[ 2أ + ( ن-1 ) ء ]/2
جـ/ ن = ن[ 4 + ( ن-1 ) 2 ]/2
= ن (ن – 1 )......... (2)

جـ ن : جـ/ ن = ن2 : ن (ن – 1 )
= ن : (ن – 1 )

س64 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد
اوجد قيمه 5 + 8 + 11 + ........ + 47 / 3 + 7 + 11 + ......... + 63

( 5 + 8 + 11 + ........ + 47)
ح ن = أ +( ن-1 ) ء
47 = 5+( ن-1 ) 3
42 = ( ن-1 ) 3
( ن-1 ) = 14
ن = 15
جـ ن = ن[ أ + ل ]/2
جـ 15 = 15[ 5 + 47 ]/2
= 15*52 /2
=390
(3 + 7 + 11 + ......... + 63)
ح ن = أ +( ن-1 ) ء
ح ن = أ +( ن-1 ) ء
63 = 3+( ن-1 ) 4
60 = ( ن-1 ) 4
( ن-1 ) = 15
ن = 16
جـ ن = ن[ أ + ل ]/2
جـ 16 = 16[ 3 + 63 ]/2
= 16*66 /2
=528
النسبة = 528/390
=65 / 88

س65 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد
* اوجد عدد حدود المتتابعة التي مجموعها 630 وحدها الأول = 13 وحدها الأخير = 71

جـ ن = ن[ أ + ل ]/2
630 = ن[ 13 + 71 ]/2
ن =42/630
= 15 حداً

س66 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد
متتابعة حسابيه مجموعها يعطى بالقانون جـ ن = 2 ن تربيع اوجد المتتابع
ثم اوجد حدها السابع


جـ ن = 2 ن2
ح 1 = جـ 1= 2
ح 1+ ح 2 = جـ 2 = 8
ح 2 = 6

المتتابعة ( 2، 6،10 ،14 ،18 ،22 ،26،.............)

[amhateb]

س67 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد

أربعه أعداد تكون متتابعة حسابيه مجموعهما 42 ومجموع مربعي العددين الأول والرابع يزيد عن مجموع مربعي العددين الثاني والثالث بمقدار 36 فما هيا هذه الأعداد

الحـــــــل

نفرض الأعداد هي ( أ -3 ء ، أ –ء ، أ + ء ، أ + 3ء)
المجموع = 4 أ = 42
أ = 10.5
الأعداد هي (10.5-3 ء ، 10.5–ء ، 10.5+ ء ، 10.5+3 ء)

[(10.5-3 ء)2 +( 10.5+3 ء)2] - [(10.5–ء)2 + (10.5+ ء)2]= 36

[ 110.25- 63 ء +9ء2 +110.25+ 63 ء +9ء2]-
[110.25- 21 ء +ء2 +110.25+ 21 ء +ء2] = 36

16ء2= 36
ء2= 9/4
ء =3/2 أ، ء = -3/2
الأعداد ( 6 ، 9 ، 12 ،15 ) أ، الأعداد ( 15 ، 12 ،9،6 )

س68 : من مشاركات لومي _ مرمر والحل للأستاذ / محمد

متتابعة حسابيه مجموع حديها الثاني والثالث = -7 ومجموع مربعيهما 29 اوجد المتتابعة موضحا أن هناك متتابعتان
الحــــــــــــــــــــــل

( أ+ ء) + (أ+ 2ء) = -7
2 أ + 3 ء = -7
أ = ( -7 – 3ء )/ 2 ...................... ( 1 )
( أ+ ء)2 + (أ+ 2ء)2 = 29.................( 2)
[( -7 -3ء)/2 +ء]2+[( -7 -3ء)/2 +2ء]2 = 29
[( -7 - ء)]2/4 + [( -7 +ء)]2/4 = 29
49 - 14 ء +ء2 + 49 + 14 ء +ء2 = 29*4 =116
98 + 2 ء2=116
18 = 2 ء2
ء2 = 9
ء = 3 أ، ء= -3
من (1) أ = ( -7 – 9 )/ 2 =-8 أ، أ=( -7 + 9 )/ 2 = 1
المتتابعة ( -8 ، -5 ، -2 ،..........) أ، المتتابعة ( 1 ، -2 ، -5،.........)

[amhateb]

س69 : من مشاركات حمدي البيلي والحل للأستاذ / محمدالباجس
متتابعة حسابية مجموع حدودها الثانى والرابع والسادس 36 ومجموع العشر حدود الأولى منها 90 . أوجد المتتابعة ثم أوجد أقل عدد من حدود هذه المتتابعة يلزم أخذه ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالباً .
ح 2 + ح4 +ح6 = 36
حـ 10 = 90
3أ + 9ء = 36 ,,,,, 5( 2أ+ 9ء ) = 90
أ + 3ء = 12 ,,,,,,, 2أ + 9ء = 18
بحل المعادلتين
ء = - 2 ,, أ = 18
(18, 16, 14, 000000000)
حـ ن < 0
ن/2( 36 -2ن + 2 ) <0
38< 2ن
19<ن
ن= 20