[احمد عبدالعال محمد]

أخى العزيز ... اسمح لى أن أعرض حلك الجميل مرة أخرى كالآتى :
د(س) = جتاس

........................ د(س+هـ) - د(س) ..................جتا(س+هـ) - جتاس
دَ(س) = نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
.............هـ←0 .........هـ ..................... . هـ←0 ............هـ

بإستعمال متطابقة مجموع زاويتين ...

.................... جتاس جتاهـ - جاس جاهـ - جتاس
= نهــــــــا ..... ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
..... هـ←0 ................ هـ

بتوزيع البسط والنهاية على المقام بالطرييقة التالية ...

.............. جتاس جتاهـ - جتاس .................. جاس جاهـ
= نهــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ نهــــــــــا ــــــــــــــــــ
.... هـ←0............. هـ ...................... هـ←0 ....... هـ

وهنا اريد ان انبه على شىء هام جداً وهى ان هذه النهايات بالنسبة لـ هـ
اذاً القسمة س نستطع ان نضعها خارجها كما يلى ..

........................ جتاهـ - 1 ......................... جاهـ
= جتاس نهــــــــا ــــــــــــــــــ ــ جاس نهـــــــا ــــــــــ
.............. هـ←0 ...... هـ ................... هـ←0 .. هـ

........................ جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ ــ جاس
.............. هـ←0 ...... هـ

((لأن النهاية الثانية جاهـ/هـ = 1 عندما هـ←0 ))

الآن : نعزل النهاية التى نريد ايجادها عن المقدار ...

........... جتاهـ - 1
نهـــــــا ــــــــــــــــ = 0 مباشرة ً اذا ما استعملت قاعدة لوبيتال .
هـ←0 ....... هـ

ولكن كيف نوجدها بدون استعمال قاعدة لوبيتال ؟

بالضرب بسطاً ومقاماً فى مرافق البسط

........... جتاهـ - 1 .......جتاهـ + 1......................... جتا²هـ - 1
نهــــــــا ــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــ = نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــ
هـ←0 ........ هـ ......... (جتاهـ+1)......... هـ←0 ... هـ (جتاهـ+1)

................... 1 - جتا²هـ
= ــ نهــــــــا ـــــــــــــــــــ ....... (( البسط عبارة متطابقة مثلثية))
....... هـ←0 .. هـ(1+جتاهـ)

................... جا²هـ .......................... جاهـ × جاهـ
= - نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــ = ــ نهـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ
...... هـ←0 هـ (1+جتاهـ) ........ هـ←0 ... هـ (1+جتاهـ)

................. جاهـ .......................جاهـ
= - نهـــــــا ـــــــــــــــ × نهــــــــا ـــــــــــــــــ
..... هـ←0 .... هـ .......... هـ←0 .. 1+جتاهـ

النهاية الأولى = -1 والنهاية الثانية بعد التعويض المباشر تعطى 0

= -1 × 0 = 0

اذاً وفى المسألة الرئيسية وصلنا الى ...

......................... جتاهـ - 1
= جتاس × نهـــــا ــــــــــــــــ - جاس
............... هـ←0 ..... هـ

= جتاس × 0 - جاس = - جاس

اى ان : مشتقة جتاس هى ــ جاس

تقبل تحياتى