[محمد يوسف يوسف]

إجابات المجموعة الثانية


إجابة التمرين الأول:

أعتقد أن مناقشة هذا التمرين تجري على النحو التالي ..

يمكننا كتابة معادلة المستقيم على الصورة: س/223 + ص/9 = 1، ومن الواضح أن المستقيم يقطع محور السينات في النقطة (223 ، 0)، بينما يقطع محور الصادات في النقطة (0 ، 9) .. كما يلاحظ أن المستقيم لن يمر برءوس مربعات الشبكة البيانية للحاصل الديكارتي ط×ط بين هاتين النقطتين حيث (ط مجموعة الأعداد الطبيعية) .. مما يدل على أن المستقيم دائمًا يقطع ضلعين (متقابلين أو متجاورين) من أضلاع المربع في الشبكة البيانية ... أي أن المربع الأخير في كل عمود من أعمدة الشبكة يكون دائمًا غير مكتمل ...

والعمود الأول المقام على الفترة [0 ، 1] سوف يشتمل على 9 مربعات .. التاسع منها غير مكتمل .. أي أننا سوف نحسب من هذا العمود 8 مربعات فقط ...

ولما كان ميل الخط المستقيم يساوي (- 9 على 223) .. أي أنه عندما تنزلق نقطة على المستقيم مسافة الوحدة رأسيًّا لأسفل .. فإن نفس النقطة تكون قد انزلقت جهة اليمين مسافة أكبر من 24 وحدة وأقل قليلاً من 25 وحدة .. تحديدًا 24 وحدة و 7 أجزاء من 9 .. وهذا يعني أن الفترة [0 ، 24] والتي تشتمل على 24 عمودًا من أعمدة الشبكة .. سوف نحسب لكل عمود منها 8 مربعات ..

وعندما تنزلق النقطة وحدة أخرى رأسيًّا إلى أسفل فإنها تنزلق جهة اليمين مسافة 24 وحدة و 7 أجزاء من 9 .. أضف إليها الأجزاء السبعة السابقة .. أي أن طول الفترة هذه المرّة سيكون 25 وحدة .. ولدينا باق 5 أجزاء من 9 .. مما يعني أن هذه الفترة هي .. [24 ، 49] .. نحسب لكل عمود منها 7 مربعات فقط ...

ثم تنزلق النقطة وحدة أخرى رأسيًّا إلى أسفل فتنزلق جهة اليمين مسافة 24 وحدة و 7 أجزاء من 9 .. أضف إليها الأجزاء الخمسة السابقة .. أي أن طول الفترة هذه المرّة سيكون 25 وحدة .. ولدينا باق 3 أجزاء من 9 .. مما يعني أن هذه الفترة هي .. [49 ، 74] .. نحسب لكل عمود منها 6 مربعات فقط ...


ثم تنزلق النقطة وحدة أخرى رأسيًّا إلى أسفل فتنزلق جهة اليمين مسافة 24 وحدة و 7 أجزاء من 9 .. أضف إليها الأجزاء الثلاثة السابقة .. أي أن طول الفترة هذه المرّة سيكون 25 وحدة .. ولدينا باق جزء واحد من 9 .. مما يعني أن هذه الفترة هي .. [74 ، 99] .. نحسب لكل عمود منها 5 مربعات فقط ...

ثم تنزلق النقطة وحدة أخرى رأسيًّا إلى أسفل فتنزلق جهة اليمين مسافة 24 وحدة و 7 أجزاء من 9 .. أضف إليها الجزء السابق .. أي أن طول الفترة هذه المرّة سيكون 24 وحدة .. ولدينا باق 8 أجزاء من 9 .. مما يعني أن هذه الفترة هي .. [99 ، 123] .. نحسب لكل عمود منها 4 مربعات فقط ...

وهكذا .. نجد أن طول كل فترة من الفترات الثلاث التالية 25 وحدة نحسب لكل عمود من الأولى 3 مربعات، وللثانية مربعين، وللثالثة مربع واحد ..

إذن مجموع المربعات الصحيحة يساوي

24 × 8 + 25 × 7 + 25 × 6 + 25 × 5 + 24 × 4 + 25 × 3 + 25 × 2 + 25 × 1

= 648