بوابة الثانوية العامة المصرية - مراجعات و اسئلة المنهج القديم

ملخص لبعض القوانين الهامة في الجبر

• المتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية
المتتابعة الحسابية المتتابعة الهندسية
الصورة العامة ( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3ء ،.. ) ( أ ، أ ر ، أ ر2 ، أ ر3 ، ..........)
الأساس ء = ح ن+1 – ح ن ر = ح ن+1ح ن

الحد العام ح ن = أ + ( ن – 1 ) ء ح ن = أ رن – 1 حيث ن رتبة الحد
الحد الأخير ل = أ + ( ن – 1 ) ء ل = أ رن – 1 حيث ن عدد الحدود
المجموع جـ ن = ن2 [ 2 أ + ( ن – 1 ) ء ]
جـ ن = ن2 [ أ + ل ]
جـ ن= أ (ر ن - 1)ر - 1 ، جـ ن= ل ر - أر - 1
جـ  = أ1 - ر حيث  ر < 1

الأوساط إذا كانت أ ، ب ، جـ في تتابع حسابي فإن ب = أ + جـ2 أو 2 ب = أ + جـ
إذا كانت أ ، ب ، جـ في تتابع هندسي فإن ب = أ جـ أو ب2 = أ جـ

ملاحظات : في المتتابعة الحسابية :
(1) رتبة أول حد سالب ح ن < 0
(2) رتبة أول حد موجب ح ن > 0
(3) مجموع الحدود الموجبة فقط ح ن > 0
(4) المجموع أكبر ما يمكن = مجموع الحدود غير السالبة ح ن ≥ 0
(5) أوجد ن لكي يكون المجموع موجبا جـ ن > 0
ن2 [2 أ + ( ن – 1 ) ء] > 0 2 أ + ( ن – 1 ) ء > 0
(5) أوجد ن لكي يكون المجموع سالبا جـ ن < 0
ن2 [2 أ + ( ن – 1 ) ء] < 0 2 أ + ( ن – 1 ) ء < 0
قوانين الأسس واللوغاريتمات : إذا كان م ، ن ، س ، ص  ح+ ، أ  ح+- { 1 ) فإن
قوانين الأسس قوانين اللوغاريتمات
أ س × أ ص = أ س + ص ،
أ س ÷ أ ص = أ س - ص
( أ ب )ن = أ ن ب ن ، ( أ م ) ن = أ م ن
(أب )م = أ مب م ، أ - س= 1أ س
لو س ص = لو س + لو ص
لو سص = لو س - لو ص
لو س ن = ن لو س
أ = 1 ، 1 = صفر

الدوال الزوجية والدوال الفردية :
الدالة الزوجية الدالة الفردية
تكون الدالة د(س) زوجية إذا كان
د(- س) = د(س) لكل س ، - س  مجال الدالة منحنى الدالة الزوجية متماثل حول محور الصادات تكون الدالة د(س) فردية إذا كان
د(- س) = - د(س) لكل س ، - س  مجال الدالة
منحنى الدالة الفردية متماثل حول نقطة الأصل

الدالة التربيعية دالة المقياس
د(س) = ( س – أ )2 + ب
نقطة رأس المنحنى = ( أ ، ب )
المجال = ح
المدى= [ ب ،  [
ليست زوجية وليست فردية
في [ أ،  [ د تزايدية
في ] -  ، أ ] د تناقصية د(س) = | س – أ | + ب
نقطة رأس المنحنى = ( أ ، ب )
المجال = ح
المدى = [ ب ،  [
ليست زوجية وليست فردية
في [ أ،  [ د تزايدية
في ] -  ، أ ] د تناقصية
الدالة التكعيبية
الدالة الكسرية

د(س)= ( س – أ )3 + ب
نقطة التماثل = ( أ ، ب )
المجال = ح
المدى = ح

ليست زوجية وليست فردية
د تزايدية على مجالها د(س) = 1س - أ + ب
نقطة التماثل = ( أ ، ب )
المجال = ح – { أ }
المدى = ح – { ب }
ليست زوجية وليست فردية
في كل من ] –  ، أ [ ، ] أ ،  [ د تناقصية
قانون حل المعادلة التربيعية س = - ب + ب2 - 4 أ جـ 2 أ
1. مثل الدالة د(س) = (س – 2 )2 + 1 بيانيا ومن الرسم عين مداها واطرادها ونوعها
الحل : نقطة رأس المنحنى = ( 2 ، 1 ) المنحنى مفتوح لأعلى المدى = [ 1 ،  [ نوعها : ليست زوجية وليست فردية الاطراد : في [ 2 ، [ د تزايدية ، في ] -  ، 2] د تناقصية نقطة التقاطع مع محور الصادات = ( 0 ، 5 ) معادلة محور التماثل س = 2
حل بنفسك د (س) = - س2 + 3 المدى =] -  ، 3 ]

2. ارسم منحنى الدالة د(س) = | س – 2 | + 1 ومن الرسم عين مداها ونوعها واطرادها
الحل : نقطة رأس المنحنى = ( 2 ، 1 )
المدى = [ 1 ،  [
نوعها : ليست زوجية وليست فردية
الاطراد : في ] -  ، 2] د تناقصية ، في [ 2 ،  [ د تزايدية
3. مثل الدالة د(س) = - ( س – 2 )3 بيانيا ومن الرسم عين مداها واطرادها ونوعها
الحل : نقطة التماثل = ( 2 ، 0 ) المجال = ح المدى = ح نوعها : ليست زوجية وليست فردية
الاطراد : د تناقصية على مجالها نقطة التقاطع مع محور الصادات = (0 ، 8 )
حل بنفسك د(س) = ( س + 1)3 – 2 المدى = ح
4. عين مجال الدالة د(س) = - 1س + 2 ثم ارسم الشكل البياني ومن الرسم عين مداها ونوعها واطرادها
الحل : نقطة التماثل = ( - 2 ، 0 )  منحنى الدالة المجال = ح – { - 2 } المدى = ح – { 0 } نوعها : ليست زوجية وليست فردية الاطراد : في]-  ، - 2 [ د تزايدية ، في ] – 2 ،  [ د تزايدية
.................................................. .................................................. .................................................. .
5. ارسم منحنى الدالة د حيث د(س) = ومن الرسم استنتج مدى الدالة واطرادها
الحل :
مدى الدالة [0 ، 4]
الاطراد : في [0 ، 2] د متزايدة
، في [2 ، 5] د متناقصة
.................................................. .................................................. .................................................. ..
6. بين نوع الدالة من حيث كونها زوجية أم فردية
(1) د(س) = س3 + جا س
(2) د(س) = س2 + | س | - 3
الحل : (1) د(– س) = (- س)3 + جا(- س)
= - س3 – حا س = - ( س3+ جا س)
 د(س) = - د(س)  الدالة فردية
(2) د(- س) = (- س)2 + |- س| - 3 = س2 + | س | - 3
د(- س) = د(س)  الدالة زوجية
حل بنفسك 1) د(س) = 1س - 2 + 3 المدى = ح – { 3 } 2) د(س) = س | س | المدى = ح ، فردية ، تزايدية على ح
3) د(س) = 1| س | المدى = [ 0 ، ∞[ ، زوجية
4) د(س) = س2 | س | المدى = [0 ، ∞[ ، زوجية

7. أوجد مجموعة الحل في ح للمعادلة | 2 – س | = 3 س + 4
الحل :
المعادلة هي | س – 2 | = 3 س + 4
عندما س > 2 عندما س < 2
س – 2= 3 س + 4 - 2 س = 6 س = - 3 مرفوض - س + 2= 3س +4 - 4 س = 2 س = - 1 2 مقبول

م . ح = { - 1 2 }

حل بنفسك
1) | 2 س – 3 | + 3 س = 4 م . ح = { 1 }
2) س2 – 3 | س | - 4 = 0 م . ح = {4 ، - 4}

8. أوجد مجموعة الحل في ح | 4 س + 2 | < 6 الحل - 6 < 4 س + 2 < 6 بإضافة - 2 - 8 < 4 س < 4 بالقسمة على 4 - 2 < س < 1 م . ح = ] – 2 ، 1 [
حل بنفسك | 12 س – 1 |  4 م . ح = [ - 6 ، 10 ]

9. أوجد مجموعة الحل في ح | 2 س + 1 |  5
الحل :
2 س + 1  5 أو - 2 س - 1  5
2 س  4 أو – 2 س  6
س  2 أو س  - 3
 م . ح = ح - ] - 3 ، 2 [
حل بنفسك | س - 3 |  4 م . ح = ح – [ - 1 ، 7 ]

10. حل المعادلة : 3س + 27 × 3 - س = 12 الحل : 3 س + 273 س = 12 بالضرب في 3 س
3 2س + 27 = 12 × 3س 3 2س - 12 × 3س + 27 = 0 (3 س - 9 ) ( 3 س - 3 ) = 0 3 س = 9 أو 3 س = 3  س = 2 أو س = 1
حل بنفسك حل المعادلة 5 2س – 26 × 5س + 25 = 0 م . ح = { 2 ، 0 }
11. إذا كان د(س) = 5 س أوجد قيمة س التي تحقق د( 2س + 1 ) + د( 2س –1 ) = 130
الحل : د(2س +1) + د(2س – 1) = 130
5 2س+1 + 5 2س-1 = 130
5 2س × 5 1 + 5 2س × 5 –1 = 130
5 2س × ( 5 + 5 –1 ) = 130
5 2س × 265 = 130 بالضرب × 526
5 2س = 25 5 2س = 5 2  س = 1
حل بنفسك
1) حل المعادلة : 7 س+1 × 7 س-1 = 49 م . ح = { 1 }
2) ارسم منحنى الدالة د(س) = 2 س+1 ومن الرسم أوجد قيمة 2 2.5 ثم حل المعادلة 2 س+1 = 5 [5.6 ، 1.3]
12. حل المعادلة : 9 س – 14 × 3 س + 45 = 0 الحل : 3 2س – 14 × 3 س + 45 = 0 أ 2 – 14 أ + 45 = 0 حيث أ = 3 س ( أ – 9 ) ( أ – 5 ) = 0 أ = 9 أ, أ = 5 3 س = 9 3 س = 5 3 س = 3 2 س لو 3 = لو 5
س = 2 أ, س = لو5لو3  1.46 م . ح = {2 ، 1.46}

13. حل المعادلة 3 2س- 1 = 7 س + 2
الحل : بأخذ لوغاريتم الطرفين
( 2س - 1) لو 3 = ( س + 2) لو7
2س لو3 – لو3 = س لو7 + 2لو7
2س لو3 – س لو7 = 2لو7 + لو3
س (2لو3 – لو7) = 2لو7 + لو3
 س = 2لو7 + لو32لو3 - لو7  19.857
حل بنفسك
1) حل المعادلة : 7 س+1 = 3 1 - س { س  0.226} 2) إذا كان لوس 25 = 2 فاثبت أن : لو5 س3 + لو10 2س + لو3 (5س + 7) = 7
14. أوجد قيمة : 2 لو 11 + لو 1.25 – 2 لو 1112 - لو 18
الحل : المقدار= لو 11 2 × 1.25 ( 1112) 2 × 18
= لو 11 2 × 1.25 × 12 211 2 × 18 = لو 18018 = لو 10 = 1
15. اثبت أن :
2 لو3 15 + لو3 73 - لو3 175 = 2 لو3 3
الحل :
الأيمن = لو3 (15) 2 + لو3 7 – لو3 3 – لو3 175
= لو3 225×73×175 = لو3 3 = 1
الطرف الأيسر = لو3 (3 )2 = لو3 3 = 1  الطرفان متساويان
حل بنفسك اثبت أن : لو5 12516 + لو5 34.3 – لو5 34332 = 2
16. حل المعادلة لو3 س + لو3 ( س + 2 ) = 1 الحل : لو3 س ( س + 2) = 1 س ( س + 2) = 3 1 س2 + 2 س = 3 س2 + 2 س – 3 = 0 ( س + 3 ) ( س – 1 ) = 0
س = - 3 مرفوض أ، س = 1 مقبول
.................................................. .................................................. ................................................
17. حل المعادلة لو(س + 2) + لو(س - 2) = 1 – لو2
الحل :
لو(س + 2)(س - 2) = لو10 – لو2
لو(س2 – 4) = لو5 س2 – 4 = 5
س2 = 9 س = 3
حل بنفسك
1) حل المعادلة لو5 ( س – 2 ) + لو5 ( س + 2 ) = 1 { 3 }
2) ارسم منحنى الدالة ص = لو2 س ومن الرسم أوجد قيمة لو2 6 وأوجد قيمة س التي تحقق المعادلة لو2 س = 1.5 [ 2.6 ، 2.8]
18. إذا كان لو سلو 5 = لو 9لو 3 فأوجد قيمة س الحل : لو سلو 5 = = 2لو3 12 لو3 = 4 لو سلو 5 = 4 لو س = 4 لو 5 لو س = لو 625  س = 625
حل بنفسك
1) إذا كان 6 3 – 4س × 4 5 + س = 8 فأوجد قيمة س لأقرب رقمين عشريين [1.76] 2) إذا كانت جـ = م (1 + س)ن حيث جـ جملة مبلغ م ، س ربح الجنيه في السنة ، ن عدد السنوات فأوجد باستخدام اللوغاريتمات قيمة س وذلك عندما جـ = 4573 جنيها ، م = 1250 ، ن = 20 سنة [0.067]
19. متتابعة حسابية مجموع حديها الرابع والخامس 22 والنسبة بين حديها التاسع والرابع عشر كنسبة 2 : 3 أوجد المتتابعة وكذلك مجموع الستة عشر حدا الأولى منها الحل : ح4 + ح5 = 22 ( أ + 3ء ) + ( أ + 4ء ) = 22 2أ + 7ء = 22 .............. (1)
ح9ح14 = 23 أ + 8 ءأ + 13 ء = 23
3أ + 24ء = 2أ + 26ء أ = 2ء ................... (2) بالتعويض من (2) في (1) 4ء + 7ء = 22 11ء = 22 ء = 2 بالتعويض في (2) أ = 4  المتتابعة هي ( 4 ، 6 ، 8 ، ............... )
جـ ن = ن2 [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
جـ 16 = 162 [ 8 + 15 × 2 ] = 304
حل بنفسك
متتابعة حسابية حدها الثاني 8 ، ح7 + ح10 = 55 أوجد المتتابعة الجواب ( 5 ، 8 ، 11 ، ............ )
20. مجموع عدد غير منته من متتابعة هندسية يساوي 4 وحدها الثاني يساوي – 3 أوجد المتتابعة
الحل : جـ  = 4 حيث | ر | < 1  أ1 - ر = 4 أ = 4 ( 1 – ر ) ............ (1)
ح2 = - 3 أ ر = - 3 ........ (2) بالتعويض من (1) في (2) 4( 1 – ر ) ر = - 3 4 ر – 4 ر2 + 3 = 0 × - 1 4 ر2 – 4 ر – 3 = 0 ( 2 ر + 1 ) ( 2 ر – 3 ) = 0
ر = - 12 مقبول ر = 32 مرفوض بالتعويض في (2)  - 12 أ = - 3 × - 2  أ = 6  المتتابعة هي ( 6 ، - 3 ، 32 ، ............... )
حل بنفسك متتابعة هندسية غير منتهية مجموع عدد غير محدود من حدودها ابتداء من حدها الأول يساوي 50 وحدها الأول يزيد عن حدها الثاني بمقدار 2 أوجد المتتابعة [ ( 10 ، 8 ، 6.4 ، ........ ) ]
21. متتابعة حسابية حدها الأول = 17 وحدها الأخير = - 21 ومجموع حدودها = - 40 أوجد المتتابعة
الحل : جـ = ن2 [ أ + ل ]
- 40 =ن2 [ 17 + ( - 21 )] - 40 = ن2 × - 4 ن = 20
ل = أ + ( ن – 1 ) ء - 21 = 17 + 19 ء ء = - 2  المتتابعة هي ( 17 ، 15 ، 13 ، ............ )

22. أوجد مجموع حدود المتتابعة الحسابية ( 3 ، 6 ، .......... ، 192 )
الحل : أ = 3 ، ء = 3 ، ل = 192 ن = ؟ ل = أ + ( ن – 1 ) ء
192 = 3 + ( ن – 1 ) × 3 ن = 64 حدا
جـ ن = ن2 [ أ + ل ] = 642 [ 3 + 192 ] = 6240
حل بنفسك : أوجد مجموع حدود المتتابعة الهندسية (3 ، 6 ، ..................... ، 192 ) [381]

23. كم حدا يلزم أخذها من المتتابعة الهندسية ( 1 ، 2 ، 4 ، ........ ) ابتداء من حدها الأول ليكون مجموع هذه الحدود مساويا 1023 الحل : أ = 1 ، ر = 2 ، جـ ن = 1023 ، ن = ؟
جـ ن = أ(رن - 1)ر - 1 1023 = 1 (2ن - 1)2 - 1
1023 = 2 ن – 1 1024 = 2 ن 2 10 =2 ن ن = 10
حل بنفسك أوجد عدد الحدود التي يجب أخذها من المتتابعة الهندسية ( 2 ، 6 ، 18 ، ....) ابتداء من حدها الثاني ليكون المجموع مساويا 6558 [ ن = 7 ]
24. المتتابعة الهندسية ( 96 ، س ، ص ، ع ، 6 ، ..... ) جميع حدودها موجبة أوجد قيم س ، ص ، ع ثم أوجد مجموع عدد غير منته من حدود هذه المتتابعة بدء ً من حدها الأول الحل : أ = 96 ، ح5 = 6 أ ر4 = 6 96 ر4 = 6
ر4 = 696 = 116 ر = 12
 المتتابعة هي ( 96 ، 48 ، 24 ، 12 ، 6 ، ...... )  س= 48 ، ص = 24 ، ع = 12
جـ  = أ1 - ر = 961 - 12 = 192
25. متتابعة هندسية أساسها أكبر من الواحد الصحيح وحدها الثالث 12 ومجموع حديها الثاني والرابع يساوي 30 أوجد المتتابعة ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأولى منها
الحل : ح3 = 12 أ ر 2 = 12 ........ (1)
ح2 + ح4 = 30 أ ر + أ ر3 = 30
أ ر ( 1 + ر2 ) = 30 .......... (2)
بقسمة (1) على (2) ر1 + ر2 = 25
2 + 2 ر2 = 5 ر
2 ر2 - 5 ر+ 2 = 0
( 2 ر – 1 ) ( ر – 2 ) = 0
ر = 12 مرفوض ر = 2 مقبول
بالتعويض في (1) أ = 3
جـ 10 = أ(رن - 1)ر - 1 = 3(2 10 - 1)2 - 1 = 3069
حل بنفسك
متتابعة هندسية حدها الرابع 8 وحدها السابع 64 . أوجد المتتابعة ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأولى منها الجواب ( 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، ...... ) ، جـ 10= 1023
26. متتابعة حسابية مجموع الخمسة حدود الأولى منها يساوي 45 ، وحدودها الأول والثاني والرابع في تتابع هندسي . أوجد المتتابعة الحسابية
الحل : ( أ ، أ + ء ، أ + 2ء ، أ + 3ء ، .............)
جـ 5 = 45 ن2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × ء ] = 45
52 [ 2أ + 4 ء ] = 45
5 ( أ + 2 ء ) = 45 ÷ 5
أ + 2 ء = 9 ................... ( 1 )
ح 1 ، ح 2 ، ح 4 في تتابع هندسي
2 = ح 1 × ح 4
( أ + ء )2 = أ ( أ + 3ء )
أ 2 + 2 أ ء + ء 2 = أ 2 + 3 أ ء
ء 2 = أ ء ÷ ء  ء = أ .......... ( 2 )
بالتعويض في ( 1 ) ء + 2 ء = 9 3 ء = 9
ء = 3 بالتعويض في ( 2 ) أ = 3
المتتابعة هي ( 3 ، 6 ، 9 ، ............. )
حل بنفسك
أوجد عدد الحدود التي يجب أخذها من المتتابعة الحسابية ( 1 ، 3 ، 5 ، ..... ) ابتداء من حدها الأول ليكون مجموع هذه الحدود مساويا 400 . الجواب [ 20 حدا ]
27. أوجد رتبة أول حد سالب في المتتابعة الحسابية
( 98 ، 94 ، 90 ، ........... ) الحل : أ = 98 ، ء = - 4 ، ح ن < 0 ، ن = ؟ أ + ( ن – 1 ) ء = < 0 98 + ( ن – 1 ) × - 4 < 0 - 4 ن < 0 102 < 4 ن ÷ 4 25.5 < ن ن = 26
.................................................. .................................................. .................................................. .
28. إذا كانت 4 ، ب ، جـ في تتابع حسابي ، وكانت 2 ، ب + 3 ، 5 جـ في تتابع هندسي . أوجد قيمة كل من ب ، جـ ثم أوجد مجموع عدد غير منته من حدود المتتابعة الهندسية ( 5 جـ ، ب + 3 ، 2 ، 000) الحل: 4 ، ب ، جـ في تتابع حسابي 2 ب = 4 + جـ 2 ب – 4 = جـ ........ (1) 2 ، ب + 3 ، 5 جـ في تتابع هندسي ( ب + 3 )2 = 2 × 5 جـ ......... (2) بالتعويض من (1) في (2) ( ب + 3 )2 = 10 ( 2 ب – 4 ) ب2 + 6 ب + 9 = 20 ب – 40 ب2 – 14 ب + 49 = 0 ( ب – 7 )2 = 0 ب = 7 بالتعويض في (1) جـ = 10 المتتابعة ( 5 جـ ، ب + 3 ، 2 ، .... ) هي ( 50 ، 10 ، 2 ، ..... )
جـ  = أ1 - ر = 501 - 15 = 500.8 = 62.5
.................................................. .................................................. .......................................
29. متتابعة حسابية حدها الأول 11 ومجموع الأربعة حدود الأولى منها 56 ومجموع الحدود الأربعة الأخيرة منها 112 أوجد عدد حدودها ومجموعها الحل : أ = 11 جـ 4 الأولى = 56 أ + ( أ + ء ) + ( أ + 2ء ) + ( أ +3 ء ) = 56 4 أ + 6ء = 56 4 × 11 + 6ء = 56 44 + 6ء = 56 ء = 2  المتتابعة هي ( 11 ، 13 ، 15 ، .......... ) جـ 4 الأخيرة = 112 ل + ( ل - ء )+ ( ل - 2ء )+ ( ل - 3ء ) = 112 4 ل – 6ء = 112 4 ل – 12 = 112 4 ل = 124 ل = 31 ل = أ + ( ن – 1 ) ء 31 = 11 + ( ن – 1 ) × 2 20 = 2 ن – 2 ن = 11
جـ 11 = 112 [ أ + ل ] = 112 [ 11 + 31 ] = 231
حل بنفسك
ب) متتابعة حسابية حدها الخامس يساوي ثلاثة أمثال حدها الثاني ومجموع 31 حدا الأولى منها يساوي مربع حدها السادس عشر أوجد المتتابعة ( 1 ، 3 ، 5 ، ..........) جـ) إذا كونت ( أ ، ب ، أ2 ) متتابعة حسابية وكونت ( أ ، أ2 ، ب ) متتابعة هندسية أوجد قيمة كل من أ ، ب حيث أ ب 1 [- 12 ،- 18 ]
ء) متتابعة هندسية حدودها موجبة ، جـ5 الأولى = 242 ، ح4 = ح3 + 6 ح2 أوجد المتتابعة ( 2 ، 6 ، 18 ، ......) هـ) متتابعة هندسية مجموع الخمسة حدود الأولى منها = 155 ، ومجموع العشرة حدود الأولى منها = 5115 أوجد المتتابعة 0 ( 5 ، 10 ، 20 ، .........)
مسائل إضافية محلولة
1. عين مجال الدالة د حيث د(س) = 3س - 5س - 2 ثم ارسم منحنى الدالة ومن الرسم عين مداها واطرادها ونوعها
2. إذا كانت د(س) = 2 س أوجد قيمة د(س + 1) + د(س)د(س + 2) - د(س)
3. اثبت أن (125)س - 4 × (15)6 - س × (9)س - 1(25)س - 3 ×(3)س + 3 = 3
4. حل المعادلة : ( لو س )2 + لو س2 = ( لو2 )2 – 1
5. حل المعادلة : ( لو3 س)2 = لو3 9س
6. حل المعادلة لو س = (لو5)2 - لو125لو0.005 جبريا
7. إذا كان 3لو ص + 4لو س – لو س2ص = 2(لو2 + لو3) فأوجد قيمة س ص
8. بين نوع الدالة د(س)= لو1 - س1 + س من حيث كونها زوجية أو فردية
9. حل المعادلة التالية في ح بيانيا 2 س = 3 - س
10. متتابعة حسابية حدها العام ح ن = 3 ن + 4 أوجد مجموع العشرة حدود الأولى منها
11. متتابعة حسابية مكونة من 15 حدا وحدها الأوسط يساوي 23 ومجموع الحدود الثلاثة الأخيرة منها يساوي 123أوجد المتتابعة وأوجد مجموع حدودها
12. متتابعة حسابية عدد حدودها 21 حداً فإذا كان حدها الأوسط يساوي 13 ، مجموع الحدود التالية له يساوي 12 مرة مجموع الحدود السابقة له . فأوجد المتتابعة
13. إذا كان مجموع ن من حدود متتابعة حسابية يعطي بالقانون حـ ن = 3ن2 فأوجد المتتابعة ؟
14. إذا أدخلنا عدة أوساط حسابية بين 20 ، 170 وكان مجموع الوسطين الخامس عشر والعشرين خمسة أمثال الوسط الخامس فما عدد هذه الأوساط
15. متتابعة حسابية حدها الأول 33 ، وحدها الثالث يساوي خمسة أمثال حدها الثامن أوجد المتتابعة . ثم أوجد كم حدا يلزم أخذها من حدود هذه المتتابعة ابتداء من حدها الأول ليكون مجموعها أكبر ما يمكن وأوجد هذا المجموع
16. أوجد المتتابعة الحسابية التي مجموع العشرة حدود الأولى منها = 155 ، ومجموع العشرة الحدود التالية لها = 455
17. كم حدا يلزم أخذه من حدود المتتابعة الحسابية ( 1 ، 5 ، 9 ، ....) ابتداء من الحد الأول ليكون النسبة بين مجموع النصف الأول من الحدود إلى مجموع باقي الحدود كنسبة 13 : 41
18. متتابعة هندسية حدودها موجبة ومجموع الحدود الأربعة الأولى منها 45 وحدها السادس يزيد عن حدها الثاني بمقدار 90 أوجد المتتابعة
19. اثبت أن المتتابعة (ح ن ) حيث ح ن = 2 × 3 ن-1 هندسية ثم أوجد أقل عدد من الحدود ابتداء من حدها الأول ليكون المجموع أكبر من 300
20. متتابعة هندسية فيها ح 1 = 1 ، ح ن+1 = 12 ح ن أوجد مجموع الحدود الثمانية الأولى منها
21. متتابعة هندسية غير منتهية مجموع عدد غير محدود من حدودها ابتداء من حدها الثاني يساوي 100 ، وحدها الثاني يزيد عن حدها الثالث بمقدار 4 أوجد المتتابعة
22. متتابعة هندسية أي حد من حدودها يساوي ضعف مجموع الحدود التالية له إلى ما لانهاية أوجد أساس المتتابعة . وإذا كان حدها الرابع يساوي 2 أوجد المتتابعة
23. ضع العدد على الصورة جـء حيث جـ ، د أعداد صحيحة ، د ≠ 0
24. متتابعة هندسية جميع حدودها موجبة وأساسها أصغر من الواحد الصحيح والوسط الحسابي للحدين الثالث والخامس يساوي 60 والوسط الهندسي الموجب لنفس الحدين يساوي 48 أوجد المتتابعة ثم اثبت أن مجموع أي عدد من حدودها مهما كبر لا يمكن أن يزيد عن 768
25. متتابعتان إحداهما هندسية والأخرى حسابية ، فإذا كان الحد الأول من كل منهما يساوي 3 ، وكان الحد الثاني من المتتابعة الهندسية يساوي الحد الرابع من المتتابعة الحسابية ، وكان الحد الثالث من المتتابعة الهندسية يساوي الحد العاشر من المتتابعة الحسابية ، فأوجد كل من المتتابعتين
26. (حن ) متتابعة حيث ح ن = { أوجد مجموع السبعة عشر حدا الأولى منها
حلول المسائل الإضافية

1. د(س)=3س - 5س - 2
د(س) = 1س - 2 + 3
نقطة التماثل ( 2 ، 3)
المجال = ح – {2} ، المدى = ح – {3}
نوعها : ليست زوجية وليست فردية
الاطراد : في ]- ∞ ، 2[ د تناقصية
، في ] 2 ، ∞[ د تناقصية
.................................................. ..................................
2. د(س + 1) + د(س)د(س + 2) - د(س) = 2 س+1 + 2 س2 س+2 - 2 س = 2 س (2 + 1)2 س (2 2 - 1) = 33 = 1
.................................................. ................................
3. (125)س - 4 × (15)6 - س × (9)س - 1(25)س - 3 ×(3)س + 3 = ((5)3)س - 4 × (3 × 5)6 - س × ((3)2)س - 1((5)2)س - 3 ×(3)س + 3
(5)3س - 12 × (3)6 - س × (5) 6 - س × (3)2س - 2(5)2س - 6 ×(3)س + 3
= (5)2س - 6 × (3)س + 4(5)2س - 6 ×(3)س + 3 = 3 1 = 3
.................................................. ..................................
4. ( لو س )2 + لو س2 = ( لو2 )2 – 1
( لو س )2 + 2 لو س + 1 = ( لو2 )2
( لو س + 1 )2 = ( لو2)2
لو س + 1 =  لو 2
لوس + 1 = لو2 لوس + 1 = - لو2
لوس – لو2 = - 1 لوس + لو2 = - 1
لوس2 = - 1 لو 2س = - 1
س2 = 10 –1 2 س = 10 -1
س2 =110 2 س = 110
س = 210 = 15 س = 120
.................................................. .............................
5. ( لو س )2 = لو3 9 + لو3 س
( لو س )2 = 2 + لو3 س
( لو س )2- لو3 س – 2 = 0
(لو3 س – 2)( لو3 س + 1 )=0
لو3 س = 2 لو3 س = - 1
س = 3 2 = 9 أو س = 3 –1 = 13
.................................................. ..................................
6. لو س = (لو5)2 - لو125لو0.005
لو س = (لو5)2 - لو(5)3لو51000
لو س = (لو5)2 - 3 لو5لو5 - لو1000
لو س = لو5(لو5 - 3)(لو5 - 3) لو س = لو5
س = 5
.................................................. ..................................
7. 3لوص + 4لوس – لوس2ص = 2(لو2 + لو3)
لوص3 + لوس4 – لوس2ص = 2لو6
لو ص3 س4س2 ص = لو36
س2 ص2 = 36 س ص = 6
.................................................. ..............................
8. د(س)= لو1 - س1 + س
د(- س) = لو1 + س1 - س
د(- س) = لو(1 - س1 + س )- 1
= - لو1 - س1 + س = - د(س)
 الدالة فردية
.................................................. ...............................
9. نفرض أن
د(س) = 2س ، ر(س) = 3 – س
س 0 1 2 3 4 س 0 2 3
د(س) 1 2 4 8 16 ر(س) 3 1 0
من الرسم ينتج أن م .ح = { 1 }
.................................................. ................................
10. المتتابعة حسابية وأساسها ء = 3
وحدها الأول ح 1 = 3 + 4 = 7
 أ = 7
جـ ن = ن2 [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
جـ 10 = 5 [ 14 + 9 × 3 ] = 205
.................................................. ...................................
11. الحد الأوسط هو ح8 ح8 = 23
أ + 7ء = 23 ........ (1)
ح15 + ح14 + ح13 = 123
أ+14ء + أ+13ء + أ+12ء = 123
3 أ + 39ء = 123 ÷ 3
أ + 13ء = 41 .............. (2)
من (1) ، (2) 6ء = 18
ء = 3 أ = 2
 المتتابعة هي ( 2 ، 5 ، 8 ، ..........)
جـ 15 = ن2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × ء ] = 152 [ 4 + 14 × 3 ] = 345
.................................................. ...................................
12. ن = 21 حدا
ح11 هو الحد الأوسط
ح11 = 13 أ + 10ء = 13
أ = 13 – 10ء .............. (1)
جـ 10 الأولى= ن2 [2أ + (ن – 1)× ء]
= 5[ 2أ + 9ء ] = 10 أ + 45ء
جـ 10 الأخيرة تبدأ من الحد ح12
جـ 10 الأخيرة = ن2 [2أ + (ن – 1)×ء] = 5 [ 2 ح12 + 9ء ]
= 5 [ 2 ( أ + 11ء ) + 9ء ]
= 5 [ 2 أ + 31 ء ] = 10 أ + 155 ء
جـ 10 الأخيرة = 12 × جـ 10 الأولى
10أ + 155ء = 12(10أ + 45ء )
10 أ + 155 ء = 120 أ + 540 ء
- 110 أ = 385 ء ÷ 11
- 10 أ = 35 ء ÷ - 5
2 أ = - 7 ء ................ (2)
بالتعويض من (1) في (2)
2 (13 – 10ء) = - 7 ء إزالة الأقواس
ء = 2 بالتعويض في(2) ينتج أن أ = - 7
المتتابعة هي ( - 7 ، - 5 ، - 3 ، ........)
.................................................. ..................................
13. جـ ن = 3 ن2
جـ 1 = 3 ح1 = 3 ........(1)
جـ 2 = 12 ح1 + ح2 = 12.......(2)
جـ 3 =27 ح1 + ح2 + ح3 = 27...(3)
بطرح (1) من (2) ، وطرح (2) من (3)
ح2 = 9 ، ح3 = 15
 المتتابعة هي ( 3 ، 9 ، 15 ، .........)
.................................................. ...................................
14. الوسط الخامس عشر هو ح16
ح16 + ح21 = 5 ح6
أ + 15ء + أ + 20ء = 5 ( أ + 5ء )
2 أ + 35 ء = 5 أ + 25 ء
10 ء = 3 أ = 60 ء = 6
المتتابعة هي (20 ، 26 ، 32 ،...، 170)
ل = أ + ( ن – 1 ) ء
170 = 20 + ( ن – 1 ) × 6
ن = 26 حدا
 عدد الأوساط = 24 وسط حسابي
.................................................. .................................
15. أ = 33 ح3 = 5 ح8
أ + 2 ء = 5 ( أ + 7 ء )
أ + 2 ء = 5 أ + 35 ء
- 33ء = 4أ = 4 × 33 ء = - 4
المتتابعة هي ( 33 ، 29 ، 25 ، .....)
الحدود التي تعطي أكبر مجموع هي الحدود الموجبة فقط ح ن > 0
أ + ( ن – 1 ) ء > 0
33 + ( ن – 1 ) × - 4 > 0
33 – 4 ن + 4 > 0
37 > 4 ن
9.25 > ن  ن = 9 حدود
جـ ن = ن2 [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ]
جـ 9 = 92 [33 × 2 + 8 × - 4 ]= 153
.................................................. .............................
16. جـ10 الأولى = 155
ن2 [ 2أ + ( ن – 1 ) ء ] = 155
5 [ 2أ + 9 ء ] = 155
[ 2أ + 9 ء ] = 31 ........... (1)
جـ10 التالية = 455
جـ20 الأولى = 155 + 455
جـ20 الأولى = 610
10 [ 2أ + 19 ء ] = 610
[ 2أ + 19 ء ] = 61 ....... (2)
بطرح (1) من (2)
10 ء = 30 ء = 3
بالتعويض في (1)
2أ + 27 = 31 أ = 2
المتتابعة هي ( 2 ، 5 ، 8 ، ....... )
.................................................. ................................
17. مجموع النصف الأولمجموع باقي الحدود = 1341
مجموع النصف الأولمجموع الحدود كلها = 1354
نفرض أن عدد الحدود = 2ن
ن2 [2أ + (ن - 1)ء] 2ن2 [2أ + (2ن - 1)ء] = 1354
2أ + ( ن - 1)ء2[2أ + (2ن - 1)ء] = 1354
2×1 + ( ن - 1)×42[2×1 + (2ن - 1)×4] = 1354
2 + 4ن - 42(2 + 8ن - 4) = 1354
4ن - 216ن - 4 = 1354
216ن – 108 = 208ن – 52
8ن = 56 ن = 7
عدد الحدود = 2ن = 2×7 = 14 حدا
.................................................. ..............................
18. جـ 4 = 45 أ (ر4 - 1)ر - 1 = 45
أ ( ر4 – 1 ) = 45 ( ر – 1 ) .... (1)
ح6 – ح2 = 90 أ ر5 – أ ر = 90
أ ر ( ر4 – 1 ) = 90 ............ (2) بقسمة (1) على (2)
1ر = ر - 12 ر2 – ر = 2 ر2 – ر - 2 = 0
( ر – 2 ) ( ر + 1 ) = 0
ر = 2 مقبول ، ر = - 1 مرفوض
بالتعويض في (2) ينتج أن أ = 3
 المتتابعة هي ( 3 ، 6 ، 12 ، ...... )
.................................................. ...............................
19. ح ن+1ح ن = 2 × 3 ن2 × 3 ن-1
= 3 ن – ن +1 = 3 = ثابت
 المتتابعة هندسية وأساسها ر = 3
أ = ح1 = 2 × 3 صفر = 2
جـ ن > 300 أ (ر ن - 1)ر - 1 > 300 2 (3 ن - 1)3 - 1 > 300
3 ن – 1 > 300 3 ن > 301
ن لو 3 > لو 301
ن > لو301لو3  5.19  ن = 6حدود
.................................................. ..................................
20. ح ن+1 = 12 ح ن
ح ن+1ح ن = 12 = ثابت  المتتابعة هندسية وأساسها ر = 12
جـ8= أ (ر 8 - 1)ر - 1 =أ ((12 ) 8 - 1) 12 - 1 =255128
.................................................. .................................
21. جـ ∞ = 100 أ ر1 - ر = 100
أ ر = 100(1 – ر) ................ (1)
ح2 – ح3 = 4
أ ر – أ ر2 = 4
أ ر(1 – ر) = 4 .................... (2) بالتعويض من (1) في (2)
100(1 – ر) (1 – ر) = 4
100(1 – ر)2 = 4
(1 – ر)2 = 125
1 – ر = ± 15
1 – ر = - 15 ر = 65 مرفوض
1 – ر = 15 ر = 45 مقبول بالتعويض في (1)
45 أ = 100×(1 - 45 )
45 أ = 20 أ = 25
المتتابعة هي (25 ، 20 ، 16 ، ..........)
.................................................. ............................
22. أ = 2( أ ر + أ ر2 + أ ر3 + ......∞)
أ = 2أ( ر + ر2 + ر3 + .........∞) بالقسمة على أ
1 = 2(ر + ر2 + ر3 + .......... ∞)
1 = 2 × ر1 - ر
1 – ر = 2 ر ر = 13
ح4 = 2 أ ر3 = 2
127 أ = 2 أ = 54
المتتابعة هي ( 54 ، 18 ، 6 ، ....... )
.................................................. ..............................
23. = 0.141 + 0.000141 + 0.000000141 + .......... 
جـ  = أ1 - ر = 0.1411 - 0.001
= 141999 = 47333
.................................................. .................................
24. ( أ ، أ ر ، أ ر2 ، أ ر3 ، ....... ) ، 0 < ر < 1
ح3 + ح52 = 60 = 120
أ ر2 + أ ر4 = 120
أ ر2 ( 1 + ر2 ) = 120 ..... (1)
ح3 ح5 = 48 أ ر2 أ ر4 = 48
أ2 أ ر6 = 48
أ ر3 = 48 ..................... (2)
بقسمة (1) على (2) 1 + ر2ر = 52 2 + 2 ر2 = 5 ر
2 ر2 – 5 ر + 2 = 0
( ر– 2 ) ( 2 ر– 1 ) = 0
ر=2 مرفوض ر= 12
بالتعويض في (1)
18 أ = 48 أ = 384
المتتابعة هي ( 384 ، 192 ، 96 ، ....)
جـ  = أ1 - ر
جـ  = 3841 - 12 = 768
جـ ن  جـ   جـ ن  768
.................................................. ...................................
25. الهندسية الحسابية
أ = 3 أ = 3
ح2 هندسية = ح4 حسابية
أ ر = أ + 3ء
3 ر = 3 + 3 ء ÷ 3
ر = 1 + ء .............. (1)
ح3 هندسية = ح10 حسابية
أ ر2 = أ + 9 ء
3 ر2 = 3 + 9 ء ÷ 3
ر2 = 1 + 3 ء ............ (2)
بالتعويض من (1) في (2)
( 1 + ء )2 = 1 + 3 ء
1 + 2ء + ء2 = 1 + 3ء
ء2 = ء ÷ ء ء = 1 بالتعويض في (1) ر = 2
المتتابعة الحسابية هي ( 3 ، 4 ، 5 ، .....)
المتتابعة الهندسية هي ( 3 ، 6 ، 12 ، ......)
.................................................. ....................................
26. جـ 17 =
( ح1 + ح3 + ح5 + ........ إلى 9 حدود) + ( ح2 + ح4 + ح6 + ...... إلى 8 حدود ) =[1+ (- 9) +(- 19)+ ..... إلى 9حدود] + [2 + 8 + 32 + .......... إلى 8حدود]
= ن2 [2أ +(ن – 1)× ء] + أ (رن - 1)ر - 1 =92 [2 + 8 × (- 10)] + 2 (4 8 - 1)4 - 1
= - 351 + 43690 = 43339

:)